Basiswissen

Vierecke, Winkel, Körper: hier steht eine alphabetisch sortierte Liste zu Fachworten aus der Geometrie und eine kurze Übersicht zu wichtigen Themen der Geometrie.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Geo für die Erde und metrie für Vermessung: Geometrie hieß ursprünglich so viel wie die Vermessung der Erde. © Unknown ☛

Ausgewählte Themen der Geometrie

Die hier kurz vorgestellten Themen der Geometrie entsprechen den in der Schulgeometrie besonders berücksichtigen Aspekten. Weiter unten folgen dann auch einige Aspekte aus der höheren Mathematik.

2D-Figuren

Quadrate, Rechtecke, Kreise: 2D heißt so viel wie zweidimensional oder „flach“. 2D-Figuren sind also flache Figuren, im Gegensatz etwa zu 3D-Körpern. Berechnet werden meistens Längen von Seiten und der Flächeninhalt. Artikel dazu - mit Formeln - stehen auf 2D-Figuren ↗

3D-Figuren

Kugeln, Würfel, Prisemen: 3D-Figuren nennt man auch kurz "Körper" Die Begrenzungflächen nennt man hier Seitenflächen, scharfkantige Linien an der Außenseite heißen Kanten. Körper spielen eine wichtige Rolle in vielen handwerklichen und technischen Berufen. Berechnet werden oft Oberflächen und Volumeninhalte. Mehr dazu unter geometrische Körper ↗

Trigonometrie

Ein großes Teilgebiet der Geometrie ist die Trigonometrie. Trigonometrie meint die Berechnung von Dreiecken. Die große Bedeutung der Trigonomietrie hat zwei Gründe: zum einen gibt es für Dreiecke viele einfache Formeln (Pythagoras, Thales, Tangens etc.). Und zum anderen kann man viele Flächen und Körper der Wirklichkeit sehr gut über Dreiecke nachmodellieren. Mehr dazu unter Trigonometrie ↗

3D-Vektoren

Vektoren sind Pfeile. Die Pfeile haben eine Länge und eine Richtung. Aus solchen Pfeilen sowie Punkten kann man in einem 3D-Koordinatensystem Geraden und Ebenen konstruieren. Damit lassen sich zum Beispiel Abstände von Körper, Winkel zwischen Objekten und Flächeninhalte oder Volumeninhalte gut berechnen. Mehr dazu unter Vektorrechnung ↗

Topologie

Die Topologie ist ein Mathematik-Gebiet das so gut wie ganz ohne Formeln und Zahlenberechnungen auskommt. Sie übt oft eine starke Faszination auf Leute mit einem ausgeprägten visuellen Denkvermögen aus. Die Topologie spielt eine herausragende Rolle in der Kosmologie. Mehr dazu unter Topologie ↗

Gekrümmte Räume

Die Geometrie, wie sie üblicherweise in der Schule behandelt wird, wird auch als euklidische Geometrie bezeichnet. Es ist die Geometrie, die sich für die meisten Menschen als "richtig" oder "vernünftig" anfühlt. Solche Geometrien nennt man in Erinnerung an den antiken griechischen Mathematiker Euklid auch euklidisch. Spätestens aber mit den Theorie Albert Einstein wurde es sinnvoll, auch ganz andere Geometrien zumindest als Denkmodell zuzulassen. In solchen alternativen Geometrien kann es zum Beispiel zwischen zwei Punkten mehr als nur eine gerade Verbindungslinie geben. Siehe mehr dazu unter dem Stichwort gekrümmter Raum [nicht-euklidisch] ↗

Ist die Geometrie empirisch?

Empirisch^[2] nennt man eine Wissenschaft dann, wenn wahr oder falsch letztendlich über eine Beobachtung der Welt um uns herum, der Natur, entschieden wird. Die "Theorie", dass die Erde eigentlich flach ist, kann man letzten Endes darüber entscheiden, dass man Messungen vornimmt oder sie von außen (aus einem Raumschiff) betrachtet.

Nicht empirisch hingegen sind die sogenannten Geisteswissenschaft. Ob es moralisch verwerflich ist, andere Menschen ohne dringende Not, zum Beispiel Hunger, zu bestehlen, kann kein Experiment, keine Naturbeobachtung entscheiden. Hier gelten andere Kriterien für wahr oder falsch.^[2]

Wie sieht es mit der Geometrie aus? Ist sie empirisch? Oder kann man auch ohne Kontrolle durch Experimente entscheiden, ob ein Satz wahr ist oder falsch? Ist es nur eine Erfahrung, dass in einem Dreieck die Summe der inneren Winkel immer 180° ergibt? Oder ist das logisch zwingend? Muss man den Satz von 180°-Winkelsumme über Experimente überprüfen, oder genügt ein logisch strenges Nachdenken? Dass man immer nachmessen sollte, forderte zum Beispiel der Astrophysiker Arthur Stanley Eddington.^[3] Tatsächlich stimmt der Satz von den 180° in Dreiecken nicht immer. Es gibt Ausnahmen. Und diese Ausnahmen würde man früher oder später finden, wenn man immer wieder alles über Messungen kontrolliert. Insofern wäre die Geometrie auch ein empirische Wissenschaft. Warum die Sache mit den 180° nicht für alle Dreiecke gilt, wird zum Beispiel erklärt im Artikel zum Galapagos-Dreieck ↗

Fußnoten

[1] Empirisch sind zum Beispiel alle Naturwissenschaften: ob eine Theorie stimmt oder nicht, entscheidet nur, inwiefern die Theorie mit einer Beobachtung der Natur übereinstimmt. Was heute fast als selbstverständlich gilt, musste sich aber über Jahrhunderte erst langsam und gegen viele Widerstände entwickeln. Siehe mehr unter Empirismus ↗

[2] Was letzten Endes über wahr und falsch entscheiden soll, eignet sich gut zur Unterscheidung verschiedener Wissenschaften. Jede eigene Disziplin hat eigene Wahrheitskriterien ↗

[3] Dass die Geometrie immer in enger Verbindung zu Messungen in der wirklichen Welt betrieben werden sollte, fordert der Astrophysiker Arthur Stanley Eddington (1882 bis 1944): "Each branch of experimental knowledge tends to have associated with it a specialised body of mathematical investigation. The pure mathematician, at first called in as servant, presently likes to assert himself as master; the connexus of mathematical propositions becomes for him the main subject, and he does not ask permission from Nature when he wishes to vary or generalise the original premises. Thus he can arrive at a geometry unhampered by any restriction from actual space measures; a potential theory unhampered by any question as to how gravitational and electrical potentials really behave; a hydrodynamics of perfect fluids doing things which it would be contrary to the nature of any material fluid to do. But it seems to be only in geometry that he has forgotten that there ever was a physical subject of the same name, and even resents the application of the name to anything but his network of abstract mathematics. I do not think it can be disputed that, both etymologically and traditionally, geometry is the science of measurement of the space around us; and however much the mathematical superstructure may now overweigh the observational basis, it is properly speaking an experimental science. This is fully recognised in the "reformed" teaching of geometry in schools; boys are taught to verify by measurement that certain of the geometrical propositions are true or nearly true. No one questions the advantage of an unfettered development of geometry as a pure mathematical subject; but only in so far as this subject is linked to the quantities arising out of observation and measurement, will it find mention in a discussion of the Nature of the Physical World." In: Arthur Stanley Eddington: The Nature of the Physical World. MacMillan, 1928 (Gifford Lectures). Dort im Kapitel "VII Gravitation - The Explanation", die Seiten 161 und 162. Das Buch gibt es auch auf Deutsch als Das Weltbild der Physik und ein Versuch seiner philosophischen Deutung ↗

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