Definition

Ein Blatt Papier auf einer glatten Tisch ist eine ebene oder auch flache Fläche. Die Oberfläche von einem Globus hingegen ist eine gekrümmte Fläche. In der Physik und der Geometrie spricht man von einer gekrümmten Fläche, wenn auf ihr die klassischen euklidschen Axiome nicht mehr gelten. Das ist hier kurz erklärt.

pi ist nicht mehr pi!

Man lege ein flaches Stück Papier auf einen flachen Tisch und zeichne mit einem Zirkel mehrere unterschiedlich große Kreise darauf. Wenn man für jeden Kreis den Umfang und den Durchmesser misst, dann kann anschließend den Durchmesser eines Kreises durch den Umfang dieses Kreises teilen. Das Ergebnis wird immer die Zahl pi, also etwa 3,14 ergeben. Anders gesagt: bei einem Kreis ist der Umfang immer etwa 3,14 mal so groß wie der Durchmesser. Nun stelle man sich vor, man lebe als flacher Käfer auf der Oberfläche eines kugeligen Globus^[2]. Man zeichne einen Kreis auf die Globusoberfläche. Nun ist der Umfang nicht mehr genau 3,14 mal so groß wie der Durchmesser. Bewegt man sich gedanklich ausschließlich auf einer Kugeloberfläche, ohne diese verlassen zu könne, dann versagt die klassische Kreisumfangsformel ↗

Auch andere Gesetze versagen

Der Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman hat in seinen berühmten Vorlesungen^[1] ein längere Kapitel über die Krümmung von Flächen und Räumen geschrieben. Darin erklärt er sehr anschaulich, wie nicht nur die Formel für den Kreisumfang versagt sondern auch andere scheinbar unverrückbare geometrische Gewissheiten:

Die Winkel in einem Dreieck geben nicht mehr 180° Innenwinkelsumme für Dreiecke ↗

Vier gleich lange Seiten mit 90° geben nicht mehr ein Quadrat ↗

Allgemeine Definition

Richard Feynman definiert eine gekrümmte Fläche als eine Fläche, auf der unsere "normalen" Gesetze der Geometrie nicht mehr funktionieren^[1]. Der österreichische Physiker Franz Serafin Exner verdichtete diese Idee darauf, dass die vier euklidischen Axiome nicht mehr zuverlässig gelten^[2]:

1. Axiom: zwischen zwei Punkten im Raum gibt es nur genau eine kürzeste Verbindungsstrecke.

2. Axiom: zu einer Geraden lässt sich durch einen gegebenen Punkt nur genau eine parallele Gerade zeichnen

3. Axiom: es gibt kongruente Flächen, sie lassen sich durch reine Verschiebung ohne Deformation zur Deckung bringen.

4. Axiom: es gibt ähnliche Figuren: sie haben gleiche Winkel und unterscheiden sich maximal in ihrer Größe.

Anschaulich: verzerrtes Papier

Der Physiker Franz Serafin Exner erklärt die Krümmung einer Fläche anschaulich mit Hilfe eines Blattes Papier. Man stelle sich ein glattes ebenenes Blatt Papier vor, dass auf einer flachen ungewellten perfekten Tischebene liegt. Jede Form, die man aus diesem Papier durch Rollen aber ohne Zerrung herstellen kann ist eine ungekrümmte Fläche^{[2, Seite 19]}. Als Beispiele nennt Exner einen Zylinder und einen Kegel. Körper, die aus solchen Flächen bestehen nennt man in der Fachsprache der Geometrie auch abwickelbar. Im Umkehrschluss gilt dann auch: muss man ein vorher ebenes Blatt Papier zerren (oder stauchen), um daraus eine gewünschte Fläche zu erzeugen (etwa eine Kugel), dann ist diese Fläche gekrümmt.

Fußnoten

[1] Richard Feynman: Feymnan Vorlesungen über Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN: 978-3-486-58107-2. Hier das Kapitel 42 Der gekrümmte Raum. Siehe Feynman Lectures ↗

[2] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919 Grundlagen der Naturwissenschaften (Exner) ↗