Basiswissen

Was meint der Sinus anschaulich?

Die Formeln vorab

• Sinus = Länge der Gegenkathete durch Länge der Hypotenuse.
  

• Hypotenuselänge mal Sinus gleich Gegenkathetenlänge
  

• Gegenkathetenlänge durch Hypotenusenlänge gleich Sinus
  

Wo gilt der Sinus?

• Hier wird der Sinus im engeren Sinn erklärt.
  

• Der Sinus im engeren Sinn gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
  

• (Es gibt auch noch einen Sinus am Einheitskreis.)
  

Vorwissen

• Ein rechtwinkliges Dreieck hat drei Seiten.
  

• Die zwei Seiten direkt am rechten Winkel heißen Katheten.
  

• Die zwei Katheten sind die zwei kürzeren Seiten im Dreieck.
  

• Die Seite gegenüber vom rechten Winkel heißt Hypotenuse.
  

• Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im Dreieck.
  

• In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es immer genau eine Hypotenuse.
  

Was meint Sinus?

• Der Sinus gehört immer zu einem Winkel.
  

• Es ist immer ein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck.
  

• Aber: der Winkel darf nie der rechte Winkel selbst sein.
  

• Man sucht sich einen der beiden anderen Winkel aus.
  

• Man sagt: "Sinus von alpha" oder kurz "Sinus alpha".
  

• Der Sinus von alpha sagt sagt, dann, wieviel mal ...
  

• so lang die Gegenkathete ist wie die Hypotenuse.
  

Zahlenbeispiel

• Wenn man sagt, der Sinus von alpha sei 0,5, dann heißt das:
  

• Die Gegenkathete von alpha ist 0,5 mal so lang wie die Hypotenuse.
  

• Wenn man sagt, der Sinus von alpha sei 0,1, dann heißt das:
  

• Die Gegenkathete von alpha hat die 0,1fache Länge der Hypotenuse.
  

Sinuswert aus Tabelle

• Wenn man den Winkel alpha kennt, dann kann man in einer ...
  

• Tabelle nachsehen, welcher Sinuswert dazu gehört.
  

• Siehe dazu Sinustabelle Grad ↗
  

Eigenschaften

• Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse gibt den Sinus von alpha.
  

• Der Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
  

• Hypotenuse mal Sinus gibt die Länge der Gegenkathete.
  

• Der Sinus ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1.
  

• Jeder Winkelwert hat einen eigenen Sinuswert.
  

• Die Sinuswerte für alle Winkel stehen in Tabellen.
  

Abkürzungen

• GK meint Gegenkathete ↗
  

• AK meint Ankathete ↗
  

• HY meint Hypotenuse ↗
  

Berechnungen

• Hypotenuse über Sinus ↗
  

• Gegenkathete über Sinus ↗
  

• Winkel über Sinus ↗
  

Sonstiges

• Im Lexikon "sinus 40" zeigt den entsprechenden Sinuswert an.
  

• Die Mehrzahl laut Duden ist "Sinusse" oder einfach "Sinus".
  

• Sinus ist Latein und heißt so viel wie "Bucht".
  

Fußnoten

• [1] 1857, Sinus geometrisch: "Sinus, lat., Busen; S. eines Kreisbogens oder des denselben messenden Winkels nennt man eine senkrechte Linie, welche von einem Endpunkte des Bogens auf den nach dem andern Endpunkte gehenden Halbmesser gefällt wird = der halben Sehne des doppelten Bogens. Den Werth dieser Geraden drückt man gewöhnlich in Bruchtheilen des Halbmessers, der als Einheit angenommen wird, aus. Der S. ist die wichtigste trigonometrische Linie. Bei ebenen Drei ecken verhalten sich die Seiten wie die S. der gegenüberstehenden Winkel, bei sphärischen Dreiecken die S. der Seiten wie die S. der gegenüberstehenden Winkel." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1857, Band 5, S. 223. Online: http://www.zeno.org/nid/20003518132
  

• [2] 1863, geographisch, mathematisch: "Sinus (lat.), 1) jede gebogene, halbrunde Fläche od. Vertiefung; bes. 2) der Bausch der Toga (s.d.); 3) Meerbusen, Bucht, Bai. Ihre Namen erhielten sie von Vorgebirgen, Städten, Ländern, in u. bei denen sie lagen, z.B. S. Gallicus, Veneticus, Maliacus, Corinthiacus etc.; andere erhielten ihre Namen von anderen Umständen, z.B. S. coenosus, der schlammige Busen auf der Küste von Susiana; S. magnus, großer Busen, in der Chersonesus aurea, jetzt Meerbusen von [135] Siam; S. salsus, westlicher Theil des Gallischen Meeres, welches durch die Vorgebirge Sigium u. die Insel Blascon in zwei Busen getheilt wurde; 4) der Busen, auch der Schooß; 5) eine in der Substanz eines Knochens befindliche Aushöhlung mit einer engen Öffnung; 6) Aushöhlung od. Vertiefung in Knochen u. anderen Theilen überhaupt; so S. ethmoidales, S. maxillares, S. sphenoidales, s.u. Nase S. 885; 7) Kanal, Rinne, Gefäß, auch Blutbehälter etc., z.B. S. venarum pulmonalium, s.u. Herz S. 296; 8) ein in die Tiefe sich erstreckendes Geschwür, s. Fistel 1); 9) Bucht am Blatt, s.d. II. B); 10) S. eines Bogens od. Winkels; fällt man von einem Punkte des ersten Schenkels eines Winkels auf den zweiten ein Perpendikel, so ist der Quotient dieses Perpendikels dividirt durch die Länge des ersten Schenkels der S. des Winkels od. des mit dem ersten Schenkel bis zum zweiten beschriebenen Kreisbogens. Im rechtwinkeligen Dreieck ist also der S. eines spitzigen Winkels die gegenüberliegende Kathete dividirt durch die Hypotenuse. Bisweilen nennt man das erwähnte Perpendikel (arab. Dschaib) selbst S., indem man dann die Länge des ersten Schenkels = 1 setzt, richtiger heißt es aber Sinuslinie. S. totus, der bei der Construction trigonometrischer Tafeln zum Grunde gelegte Halbmesser des Kreises, welcher in den gewöhnlichen Tafeln = 10000000000 gesetzt ist, so daß also sein Logarithmus = 10 ist. S. versus, beschreibt man aus dem Scheitel eines Winkels im beliebigem Halbmesser einen Bogen zwischen seinen Schenkeln u. fällt von dem Endpunkte dieses Bogens auf dem ersten Schenkel ein Perpendikel auf den zweiten Schenkel, so ist der Quotient, welchen man erhält, wenn man den zwischen dem Fußpunkte des Perpendikels u. dem Bogen auf dem zweiten Schenkel gelegenen Abschnitt durch den Halbmesser dividirt, der S. versus des Winkels." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 16. Altenburg 1863, S. 135-136. Online: http://www.zeno.org/nid/2001093815X
  

• [3] 1909, auch arabisch-indische Wurzeln: "Sinus (lat.), Busen, Höhlung, weiter Blutraum; S. frontalis, Stirnhöhle, S. maxillaris. Kieferhöhle, S. rhomboidalis, Rautengrube. S. eines Kreisbogens oder des zugehörigen Zentriwinkels, geschrieben sin, in der Trigonometrie die halbe Sehne des doppelten Bogens, dividiert durch den Halbmesser. Statt dieses jetzt üblichen numerischen S., der ein echter Bruch ist, wandte man früher den linearen S., d. h. die absolute Länge der halben Sehne selbst, an; den Radius bezeichnete man mit dem Namen S. totus. Sinusversus, Quersinus, gekürzt sin. vers., ist die Einheit, vermindert um den Kosinus. Die Geometer und Astronomen des griechischen Altertums bedienten sich nicht des S., sondern rechneten mit den Sehnen der Bogen selbst; dagegen war der S. unter dem Namen dschiva oder dschya (soviel wie Sehne, auch bei einem zum Schießen dienenden Bogen) frühzeitig bei den Indern im Gebrauch, von denen ihn um 900 n. Chr. die Araber entlehnten. Der Name S. ist die lateinische Übersetzung des arabischen Wortes dschaib (soviel wie Busen), mit dem die Araber den S. bezeichneten; wahrscheinlich ist aber dieses Wort nur eine arabisierte Lesart des Sanskritausdrucks dschiva, da dschaib und dschiba in arabischer Schrift nicht unterschieden sind. Vgl. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik (Leipz. 1874). Im christlichen Abendland wurden die S. anstatt der Sehnen von Regiomontanus (s. d.) eingeführt. – In der Bedeutung von Meerbusen, Golf, häufig in antiken geographischen Namen." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 18. Leipzig 1909, S. 496. Online: http://www.zeno.org/nid/20007480652
  

• [4] 1910, auch als Integral: "Sinus eines Winkels φ ist in einem rechtwinkligen Dreieck, das den Winkel φ besitzt, das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse. Die Sinusfunktion ist die Umkehrung des Integrals [hier steht als Bild: das Integral von 0 bis z von dz geteilt durch die Wurzel aus der Differenz von 1 und z²]. Dieselbe hat die Periode 2π, und zum Zweck ihrer Abbildung wird daher die Ebene in Periodenstreifen durch vertikale Gerade im Abstand 2π zerlegt. Dann nimmt die Funktion jeden Wert in jedem Periodenstreifen zweimal an. Die Nullstellen sind ± 2n π. Weiteres s. Goniometrie." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 140. Online: http://www.zeno.org/nid/20006128874
  

• [5] 1911: " Sinus (lat.), Krümmung, Busen, Meerbusen; in der Trigonometrie: der Quotient aus der im rechtwinkligen Dreieck einem spitzen Winkel gegenüberliegenden Kathete zu der Hypotenuse des Dreiecks heißt S. dieses spitzen Winkels (abgekürzt sin). Den Verlauf der Sinusfunktion zeigt die Sinuslinie." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 710. Online: http://www.zeno.org/nid/20001566768