WSW
Winkel-Seite-Winkel
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Basiswissen｜
Was ist gegeben?｜
Zeichnerische Konstruktion｜
Rechnerische Bestimmung｜
Der dritte Winkel｜
Fehlende Angaben über den Sinussatz｜
Fehlende Angaben über den Tangens etc.｜
Anwendungen｜
Der Vorwärtsschnitt im Vermessungswesen｜
Entfernungsmesser｜
Die Parallaxe in der Astronomie｜
Parallaxen-Paradoxon｜
Kongruenz und Eindeutigkeit｜
Fußnoten
Basiswissen
Kennt man von einem Dreieck die Länge einer seiner Seiten (das S) und die beiden Innenwinkel an den zwei Ecken dieser Seiten (die zwei W), dann ist das Dreieck eindeutig bestimmt. Man kann dann das Dreieck eindeutig zeichnen. Und man kann den fehlenden Winkel sowie die Länge der zwei anderen Seiten eindeutig berechnen. Interessante Anwendungen gibt es aus der Astronomie und dem Vermessungswesen. Bei einigen besonderen Dreiecken kann man einen verblüffenden psychologischen Effekt provozieren.
Was ist gegeben?
Man hat immer die Länge einer der drei Seiten gegeben. Das die Seitenlänge gegeben ist heißt im Prinzip nur, dass man die Seitenlänge kennt. Und zusätzlich kennt man noch die zwei Innenwinkel an den Enden der gegebenen Seite. Dazu einige Beispiele.
Beispiel a
- Eine Seite ist 8 Zentimeter lang.
- Der eine Innenwinkel am Ende dieser Seite sei 20°.
- Der andere Innenwinkel am anderen Ende dieser Seite sei 30°.
- Damit entsteht ein mittelgroßes 👉 stumpfwinkliges Dreieck
Beispiel b
- Eine Seite ist 10 Zentimeter lang.
- Der eine Innenwinkel am Ende dieser Seite sei 80°.
- Der andere Innenwinkel am anderen Ende dieser Seite sei 89°.
- Damit entsteht ein etwas größeres und extrem 👉 spitzwinkliges Dreieck
Beispiel c
- Eine Seite ist 4 Zentimeter lang.
- Der eine Innenwinkel am Ende dieser Seite sei 60°.
- Der andere Innenwinkel am anderen Ende dieser Seite sei auch 60°.
- Damit entsteht ein kleines 👉 gleichseitiges Dreieck
Beispiel d
- Eine Seite ist 8 Zentimeter lang.
- Der eine Innenwinkel am Ende dieser Seite sei 50°.
- Der andere Innenwinkel am anderen Ende dieser Seite sei auch 50°.
- Damit entsteht ein mittelgroßes 👉 gleichschenkliges Dreieck
Beispiel e
- Eine Seite ist 12 Zentimeter lang.
- Der eine Innenwinkel am Ende dieser Seite sei 30°.
- Der andere Innenwinkel am anderen Ende dieser Seite sei 60°.
- Damit entsteht ein etwas größeres 👉 rechtwinkliges Dreieck
Hilfreich ist, dass die Kurzformen der Kongruenzsätze (WSW, SWS, SSS) auch etwas über die Lage der gegebenen Größen zueinander sagen. Das Kürzel WSW sagt, dass die gegebenen Seitenlänge S genau zwischen den zwei gegebenen Winkeln W liegt. Siehe auch 👉 Kongruenzsätze
Zeichnerische Konstruktion
Das Bild lässt die Lösung fast schon ins Auge springen: man muss zur Seite S nur noch die zwei anderen Seiten mit den gegebenen Winkeln anfügen.
Hat man ein Dreieck über WSW gegeben, kann man es immer eindeutig mit diesen Angaben zeichnen. Man beginnt mit der gegebenen Seite S. Man zeichnet eine gerade Strecke mit der gegebenen Länge. Dann ergänzt man mit dem Winkelmesser des Geodreiecks die zwei noch fehlenden Seiten.
- Erst die Strecke S zeichnen
- Dann die zwei fehlenden Seiten mit den gegebenen Innenwinkel anfügen
- Dazu benutzt man ein Geodreieck oder sonst einen Winkelmesser.
Die noch fehlenden Seiten zeichnet man zunächst als dünne Hilfslinie deutlich länger als wahrscheinlich am Ende nötig. Sie bilden dann einen Schnittpunkt. Der Schnittpunkt bildet die dritte noch fehlende Ecke im Dreieck. Die zwei ersten Ecken waren die Enden der anfänglich gegebenen Strecke S. Das Verfahren ist ausführlich erklärt im Artikel 👉 nach WSW konstruieren
Rechnerische Bestimmung
Für die weiteren Erklärungen werden die Bezeichnungen aus dem sogenannten Standarddreieck verwendet. Gegeben sind dann die Länge der Seite c sowie die Winkel α und β.
Der dritte Winkel
Den dritten, noch unbekannten Winkel γ kann man leicht berechnen. Da alle drei Innenwinkel in einem Dreieck immer als Summe aufaddiert 180° ergeben müssen, ist der gesuchte dritte Winkel was noch bis zu den 180° fehlt. Rechnerisch findet man das über die Subtraktion 180° minus ersten Winkel minus zweiten Winkel heraus. Wenn der eine gegebene Winkel 30° waren und der andere Winkel 50°, dann ist der dritte noch unbekannte Winkel 180°-30°-50°, also am Ende 100°. Der gedankliche Hintergrund ist die 👉 Innenwinkelsumme für Dreiecke
Fehlende Angaben über den Sinussatz
Der sogenannte Sinussatz gilt für jedes beliebige Dreieck. Es ist völlig unwichtig, wie groß die Innenwinkel und wie lang die Seiten sind. Vor allem muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein. Wie groß der dritte Winkel γ ist, kann man über die Summe der Innenwinkel (immer 180°) berechnen. Die Länge der beiden anderen Seiten a und b kann dann wie folgt berechnet werden:
- γ = 180° - α - β
- b = c·sin(β)/sin(γ)
- a = c·sin(α)/sin(γ)
Der Schrägstrich (/) steht für ein Geteiltzeichen. Der gedankliche Hintergrund hier ist der Sinussatz. Er besagt, dass in einem bestimmten Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des ihr gegenüberliegenden Winkels für alle drei Paare von Seiten-und-Winkeln im Dreieck immer denselben Wert ergeben muss. Siehe mehr unter 👉 Sinussatz
Fehlende Angaben über den Tangens etc.
Ist einer der zwei Winkel α oder β an der gegeben Seite c genau 90°, können die Längen der zwei noch fehlenden Seiten a und b mit Hilfe des Tangens und Cosinus oder auch unter Zuhilfenahme des Satzes des Pythagoras berechnet werden. Nehmen wir an, der 90°-Winkel sei der Winkel α, dann kann man wie folgt rechnen:
- γ = 90° - β
- b = c·tan(β)
- a = c·cos(b)
Die dritte Seite, in der Namensgebung hier die Seite a, kann man alternativ auch über den Satz des Pythagoras berechnen, wenn man vorher schon die Längen von c und b berechnet hat. Dann gilt: a² = c²+b² und umgestellt nach a gilt: a = √(c²-b²). Praktisch gesehen ist der Weg über den Cosinus aber der schnellere.
Anwendungen
Der Vorwärtsschnitt im Vermessungswesen
Mit Hilfe der Idee der Dreiecksberechnung nach WSW kann man Entfernungen zu fernen Objekten messen, ohne dann man die Strecke hin zum Objekt abschreiten oder sonstwie überwinden muss. Es genügt, wenn man das ferne Objekt den zwei Enden einer sogenannten Standlinie aus anpeilen kann.
Beim Vorwärtsschnitt im Vermessungswesen peilt man von den zwei Enden einer von der Länge her bekannten geraden und meist auch begehbaren Strecke aus ein entferntes Objekt an. Man misst also die zwei Innenwinkel im Dreieck und kennt die Länge der zwischen ihnen liegenden Seite. Damit kann man die Entfernung hin zum Objekt berechnen.
Zahlenbeispiel
Entfernungsmesser
Mathematisch gleichbedeutend mit dem Vorwärtsschnitt sind einfache Entfernungsmesser als Handgeräte. Spätestens im Jahr 1607 wurden solche Geräte benutzt, etwa um bei der Belagerung einer Stadt die Entfernung zu Gebäuden abzuschätzen, die man mit Kanonen beschießen möchte.
Ein sehr simpler Entfernungsmesser mit einer "tragbaren" Basislinie kann aus haushaltsüblichen Materialien hergestellt werden. Für mittlere Entfernungen bis hin zu wenigen Zehnermetern erreicht man damit ganz akzeptable Ergebnisse.
Die Grundidee der Messung von Entfernung nach WSW mit Hilfe von tragbaren Geräten spielt bis heute eine Rolle. Speziell für das Militär wurden sehr präzise und exakte Geräte wie die sogenannten Koinzidenzentfernungsmesser oder Raumbildentfernungsmesser gebaut. Mit ihnen konnte man zum Beispiel von einem U-Boot aus die Entfernung zu einem feindlichen Schiff bestimmen. Die einfache DIY-Version zum selben bauen ist näher beschrieben im Artikel zum 👉 Parallaxometer
Die Parallaxe in der Astronomie
Die Grundidee der Messung von Entfernungen nach WSW ist mathematisch sehr einfach: man stellt sich an zwei mehr oder minder weit entfernte Punkte auf und peilt von diesen aus das entfernte Objekt an. Kann man die Winkel zwischen den Sehstrahlen und der Basislinie genau genug messen, kann man die Entfernung des Objektes rechnerisch oder sogar zeichnerisch bestimmen.
Nach dieser Idee müsste man also zumindest theoretisch auch die Entfernung von Himmelskörpern zu Erde leicht bestimmen können. Wenn man zum Beispiel eine 4 Kilometer lange Basislinie (längere Linien geben genauere Ergebnisse) in ebenen Gelände zieht und von den zwei Enden aus gleichzeitig einen Krater auf dem Mond anpeilt, dann müsste man den Abstand des Mondes doch so recht einfach bestimmen können.
Der Astronom Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte 1838 erstmals erfolgreich die Entfernung eines Sterns mit der sogenannten Parallaxenmethode. Dabei beobachtete er den Stern 61 Cygni zu verschiedenen Zeiten im Jahr. Weil sich die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne bewegt, scheint der Stern seine Position gegenüber weit entfernten Hintergrundsternen leicht zu verändern. Aus diesem winzigen Winkelunterschied konnte Bessel mit Geometrie die Entfernung berechnen. Damit gelang zum ersten Mal ein direkter Nachweis, dass Sterne sehr weit von der Erde entfernt sind. [2]
Die Parallaxe in der Astronomie ist der Winkel an der Dreiecksinnenseite an der Ecke des weit entfernten Himmelskörpers. Übliche solche Winkel sind sehr klein, im Bereich einer Bogensekunde. Um solche Winkel überhaupt registrieren zu können, benutzt man den gesamten Durchmesser der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne. Die Methode wurde erst mit der Entwicklung sehr genauer Messgeräte möglich. Siehe auch 👉 Parallaxe
Parallaxen-Paradoxon
Eine psychologische interessante Folge aus der Dreiecksbestimmung über WSW bezeichnen wir hier als Parallaxen-Paradoxon. Wenn die Basislinie zum Abstand des weit entfernten Objektes sehr klein ist, dann gehen die zwei Dreiecksinnenwinkel an den Rändern A und B der Basislinie immer mehr hin zu 90°. Für das bloße Auge erscheinen die zwei Seiten von den Rändern der Basislinie hin zum Objekt quasi als parallel.
Das Parallaxen-Paradoxon tritt in verschiedenen Formen auf. Man kann es gedanklich immer mit einem Dreieck nach WSW in Verbindung bringen, bei dem die zwei Winkel W sehr nahe an 90° liegen.
Benutzt man zum Peilen kleine Rohre an den den Enden der Basisstrecke wirken diese wirklich derart parallel, wenn sie auf das weit entfernte Objekt ausgerichtet sind, dass viele Probanden das Ergebnis für unmöglich oder unerklärlich halten. Siehe dazu auch den Artikel zum 👉 Parallaxen-Paradoxon
Kongruenz und Eindeutigkeit
Das Kürzel WSW steht für einen von mehreren sogenannten Kongruenzsätzen. Oft heißt es, dass damit ein Dreieck eindeutig gegeben oder eindeutig bestimmt sei. Das heißt, alle Dreieck, die auf die gegebenen Angaben passen haben exakt dieselbe Form und sie sind auch alle gleich groß.
DEFINITION:
Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie exakt drei gleich große Innenwinkel haben und auch ihre Seitenlängen exakt gleich groß sind.
Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie exakt drei gleich große Innenwinkel haben und auch ihre Seitenlängen exakt gleich groß sind.
Man kann also mit einer Angabe nach WSW keine zwei verschieden geformte oder verschieden große Dreiecke konstruieren. Die Angabe WSW deutet immer nur auf genau ein spezielles Dreieck hin und ist damit eindeutig. Figuren, egal ob Körper (3D) oder Flächen (2D) die exakt dieselbe Form haben und auch gleich groß sind, nennt man 👉 kongruent
Fußnoten
- [1] Ein Bild aus dem Jahr 1607 zeigt, wie zwei Personen einen vielleicht zwei Meter langen Stab als Basislinie verwenden. Von den Enden aus peilen sie einen weit entfernten Turm an. Der Zweck der Entfernungsmessung, so zeigt das Bild eindeutig, ist es, den Turm mit einer auf die gemessene Entfernung eingestellten Kanone erfolgreich beschießen zu können. In: Novum instrumentum geometricum von Leonhard Zubler und Kaspar Waser, erschienen 1607 beim Verleger Regius in Basel.
- [2] Bessel ging bei seiner Parallaxenmethode von einigen durchaus vernünftigen aber damals nicht beweisbare Annahmen aus. Man kann seinen ursprünglichen Gedanken gut in seiner eigenen wissenschaftlichen Veröffentlichung nachvollziehen: Wilhelm Bessel: Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans.” Astronomische Nachrichten 16, no. 365–366 (1838): 65–96. Online: https://zenodo.org/records/1424605