Basiswissen

Die verschiedenen Varianten des Parallaxen-Paradoxons sind eigentlich ein Scheinparadoxon. Als solches sind sie in der Intuition aber sehr stark. Es ist sehr schwer, trotz besseren Wissens, sich gegen das Gefühl zu wehren, dass irgendetwas mit dem optisch-geometrischen Effekt nicht stimmen kann.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Peilen zwei Personen den weit entfernten Nordpol an, so zeigen ihre Kompasse in eine fast parallele Richtung. Was vom fiktiven Blick aus dem Weltraum auf eine Modell-Erde logisch erscheint, führt aber bei tatsächlich durchgeführten Versuchen auf der Erdoberfläche zu ganz kontraintuitiven Effekten. © Gunter Heim/Gemini (KI) ☛

Beispiele

Das Kompass-Parallaxen-Paradoxon

Peilt man mit einem Kompass ein vielleicht 2 bis 3 Kilometer weit entferntes Bauwerk an, erhält man die Kompassrichtung in die man dann blickt. Viele Kompasse haben dazu eine einfache Peilhilfe, zum Beispiel einen dünnen Draht den man im eigenen Sichtfeld mit dem Objekt zur Deckung bringt. Über Spiegel wird der Draht dann im eigenen Sichtfeld mit der Gradanzeige der Kompassrose überlagert. Das erlaubt selbst bei billigen Kompassen Ablesungen bis auf einen halben Grad Genauigkeit.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Ideal für diesen Peilversuch sind höhere und schlanke Gebäude. Leuchttürme, Kirchtürme, Funkmasten und ähnliche Bauwerke eignen sich gut dafür.

Doch entgegen der gefühlten Erwartung, der Intuition, kann man sich um mehrere Zehnermeter senkrecht zur Blickrichtung bewegen ohne dass sich die mit bloßem Auge abgelesen Peilrichtung merklich ändert. Um den Effekt gut spürbar zu machen, kann man ein weit entferntes Bauwerk anpeilen und dann einige Zehnermeter senkrecht (von links nach rechts) zur Sichtlinie hin und hergehen. Die angezeigte Kompassrichtung wird sich nicht sichtbar ändern. Bei den meisten Personen sollte sich dann ein Gefühl regen, dass hier etwas nicht stimmt.

Das Eisenbahn-Parallaxen-Paradoxon

Ich kann als Kind kaum älter als vielleicht sechs gewesen sein, als ich mich zum ersten Mal über ein seltsames Phänomen wunderte: blickte ich aus dem Fenster eines fahrenden Zuges auf den Mond, konnte ich die ganze Zeit in dieselbe Richtung blicken und sah den Mond immer noch an derselben Stelle wie vorher.

Auch wenn ein Zug 100 oder sogar 300 km/h schnell ist (und auf einer geraden Strecke fährt), kann man über viele Minuten hinweg den Mond anblicken, ohne dafür den Kopf verdrehen zu müssen.

Bei den Bäumen oder Masten von Bahnanlagen ist das ganz anders. Um sie im Blick zu halten, muss man schon recht bald in der Fahrt den Kopf verdrehen. Und zudem sind sie - anders als der Mond - schnell aus dem Blickfeld verschwunden. Dieser Effekt ist ein Hinweis auf die sehr große Entfernung des Mondes im Vergleich zu Objekten auf der Erdoberfläche.

Das Fernrohr-Parallaxen-Paradoxon

Nimmt man zwei lange und dünne Röhren, etwa Kunststoffrohre aus dem Sanitärhandel, kann man durch diese hinweg den Mond oder einen Stern anpeilen. Der Mond hat den Vorteil, dass man ihn oft auch tagsüber gut am Himmel sieht. Stellt man sich zu zweit vielleicht 10 oder mehr Meter voneinander entfernt und blickt dann jede der zwei Personen durch eine solche Röhre auf den Himmelskörper, dann würde man von der Intuition her erwarten, dass die zwei Röhren leicht aber mit bloßem Auge erkennbar aufeinander zulaufend Richtung Himmelskörper gehalten werden müssen.

Beim Blick durch zwei Röhren auf ein und denselben Himmelskörper würde man für zwei weiter voneinander entfernte Beobachter intuitiv erwarten, dass die Visierröhren erkennbar aufeinander zulaufen. Das tun sie aber nicht.

Macht man das Experiment, dann stellt man jedoch fest, dass die zwei Röhren so gut wie perfekt parallel zueinander verlaufen. Mit dem bloßen Auge oder auch groben Messinstrumenten kann man keinen Winkel zwischen den zwei Röhren erkennen. Sie sind für das freie Auge parallel.

Sonnen-Parallaxen-Paradoxon

Sonnenstrahlen, etwa wenn sie auf eine Lupe treffen oder wenn sie den Schatten eines Bauwerks bilden, werden oft als zueinander parallele Geraden dargestellt. Tatsächlich kann es im Strahlenmodell der Optik geometrisch parallele Strahlen geben. Aber eine weitaus größere Anzahl von Sonnenstrahlen dürfte zueinander nicht parallel gezeichnet werden. Dabei ist das Parallaxen-Paradoxon aber nur einer von mindestens zwei Gründen, dass Fehlinterpretationen entstehen können, wenn man alle Sonnenstrahlen als parallel denkt.

Die Strahlen der Sonne, die in einer sehr weiten Entfernung zur Sonne gemeinsam in ein oder derselben kleinen Gegend ankommen, sind tatsächlich mehr oder minder parallel zueinander. Je näher aber man an der Sonne ist desto weniger gut trifft das zu. Siehe mehr dazu im Artikel zum 👉 Sonnenstrahlen-Paradoxon

Deckpeilung als Gegenbeispiel

Tatsächlich hat die Intuition Recht, wenn sie fordert, dass sich die eigene Blickrichtung ändern sollte, wenn man sich senkrecht zur Blickrichtung auf einen entfernten Gegenstand bewegt. Der springende Punkt ist, dass die Änderung so schwach ist, dass man sie mit bloßem Auge meist nicht bemerkt. Eine (von mehreren) Gegenbeispielen ist die sogenannte Deckpeilung.

Bei diesem Bild ist der Kirchturm im Vordergrund etwa 2 Kilometer entfernt, der Funkturm im Hintergrund gut 24 Kilometer. Ich stand hier als Photograph so auf einem Radweg, dass die beiden Türme zur optischen Deckung kamen. Ging ich aber nur einen Meter nach rechts oder links, war die Deckung sofort verschwunden.

Bei der Deckpeilung sucht man einen Standpunkt, von dem aus zwei weit entfernte Gegenstände optisch in einer Linie liegen. Verblüffend ist, wie sensibel der Effekt auf kleine Änderungen der eigenen Position reagiert. Hier wird die Intuition bestätigt, dass kleine Änderungen der eigenen Positionen zu erkennbaren optischen Effekten führen. Siehe dazu mehr unter 👉 Deckpeilung

Fußnoten

[1] Parallaxe als Winkel: "Parallaxe wird der Winkel genannt, welcher zwei von verschiedenen Punkten einer geraden Linie nach einem von derselben aus wahrnehmbaren Gegenstande gerichtete Gesichtslinien bilden, indem sie sich dort vereinigen. Sie bilden zugleich auf der zum Standpunkte der Beobachter angenommenen Linie ein Dreieck, dessen Scheitelwinkel eben die Parallaxe ist. Sie dient besonders in der Astronomie zur Berechnung der Entfernung der Himmelskörper und es ergibt sich aus dem Vorigen, daß die Parallaxe eines Sternes der Winkel sein muß, welcher an demselben durch zwei von einer geraden Linie der Erde aus dort zusammentreffenden Gesichtslinien entsteht. Als diese gerade Linie nimmt die Sternkunde den Halbmesser der Erdkugel an und nennt eine von den zwei Endpunkten dieser Grundlage durch Beobachtung und Berechnung gefundene Parallaxe eine tägliche; der jährlichen dienen die beiden Endpunkte des Durchmessers der Erdbahn um die Sonne zur Grundlage. (S. Fixsterne.)" In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 3. Leipzig 1839., S. 410. Online: http://www.zeno.org/nid/20000851574

[2] Das Kompass-Parallaxen-Paradoxon nahm ich um das Jahr 2011 selbst sehr deutlich an mir wahr. Im Rahmen einer "VDINI-Kompass-Wanderung" mit etwa 20 Kindern aus dem Grundschulalter peilen wir vom Aussichtspunkt Preuswald in Aachen das etwas weniger als 3 Kilometer entfernte Gebäude des Klinikums an. Ganz gegen die Erwartung konnte man sich auf dem großen Gelände des Aussichtspunktes hinstellen wo man wollte, die angezeigte Peilrichtung auf der Kompassrose blieb zumindest für das freie Auge immer dieselbe.