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Schnittpunkt

Definition

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Basiswissen


Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt von zwei oder mehr Objekten. Ein Schnittpunkt muss also gleichzeitig zu mindestens zwei Objekten gehören. Objekte können sein: Mengen, Körper, Flächen, Linien, Geraden, Punktemengen etc.



Bildbeschreibung und Urheberrecht

Schnittpunkt von zwei Geraden ====☛



Für Funktionsgraphen


  • Ein gemeinsamer Punkt von mehreren Geraden, Kurven, Flächen oder Körpern
  • Gemeinsamer Punkt meint: alle Koordinaten müssen gleich sein.
  • Eine Durchdringung (Überkreuzung) darf - muss aber nicht - sein.
  • Eine häufige Abkürzung ist S.

Beispiel für Funktionsgraphen


  • Man habe ein xy-Koordinatensystem.
  • Darin verläuft eine waagrechte Gerade durch y=4.
  • Diese Gerade verläuft also parallel zur x-Achse in der Höhe 4.
  • Man habe zudem eine Normalparabel gegeben: f(x)=x²
  • Der Punkt (2|4) liegt sowohl auf der Geraden als auch auf der Parabel.
  • Dasselbe gilt für den Punkt (-2|4). Beides sind also Schnittpunkte.

Berechnung


  • Es gibt sehr viele verschiedene Fragestellungen zu Schnittpunkten.

Müssen sich Funktionsgraphen bei einem Schnittpunkt durchdringen?


  • Nein.
  • Durchdringen heißt hier so viel: wie sich durch- oder überkreuzen, die Seiten wechseln.
  • Das ist für den Schnittpunkt zweier Graphen nach gängigen Definititionen nicht gefordert.
  • Die Parabeln zu f(x)=x² und f(x)=-x² haben in (0|0) einen gemeinsamen Punkt.
  • Dieser Punkt ist auch tatsächlich ein echter Schnittpunkt.

Was ist ein Berührpunkt?


  • Jeder Berührpunkt zweier Graphen ist automatisch immer auch ein Schnittpunkt dieser Graphen.
  • Zwei Graphen haben einen Berührpunkt, wenn der Punkt a) ein Schnittpunkt der Graphen ist ...
  • und b) beide Graphen an diesem Punkt auch dieselbe Steigung haben.

Fußnoten


  • Guido Walz: Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg (2002), Band 4, ISBN: 3-8274-0436-3: Schnittpunkt ist hier definiert als ein gemeinsamer Punkt. Eine Durchdringung ist erlaubt aber nicht notwendig Spektrum Lexikon der Mathematik ↗