Galapagos-Dreieck
Versuch
Basiswissen
Ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Summe der Innenwinkel nicht 180° gibt (sondern 270°) und auch der Satz des Pythagoras nicht mehr gilt: ein solches Dreieck gibt es wirklich. Es ist hier kurz als Versuch mit einem einfachen Globus vorgestellt.
Die Ecken des Galapagos-Dreiecks
Als Galapagos-Dreieck bezeichnen wir hier ein sogenanntes sphärisches Dreieck oder Kugeldreieck auf einem Globus. Die obere Ecke liegt im Nordpol, die zwei unteren Ecken bilden die hypothetische Insel „Null Island“ vor der Küste Westafrikas sowie die Galapagosinseln im östlichen Pazifik:
- Die Ecke oben auf dem Globus ist der geographische Nordpol ↗
- Die Ecke unten links liegt direkt bei den Galapagosinseln [östlicher Pazifik] ↗
- Die Ecke unten rechts liegt direkt auf der Null Island [Westfrika] ↗
Das Galapagos-Dreieck und die Summe der Innenwinkel
Für Dreiecke, die man auf einer ebenen Fläche zeichnet, etwa auf einem Blatt Papier auf einem Tisch, gilt immer, dass die drei Winkel innen aufaddiert zusammen 180° ergeben. Das nennt man den Satz von den Innenwinkeln für Dreiecke. Dieser Satz gilt für alle Dreiecke der sogenannten ebenen Geometrie. Das Dreieck auf dem Globus gehört aber nicht mehr zur Ebenen Geometrie sondern zur sphärischen Geometrie (Sphäre = Kugel). Miss mit einem Geodreieck, wie groß jeder der Innenwinkel ist. Jeder Winkel sollte ziemlich genau bei 90° liegen. Damit ist die Summe der Innenwinkel im Galapagos-Dreieck nicht 180° sondern 270° Grad. Man hat hier also ein rechtwinkliges Dreieck mit genau drei rechten Winkeln! Siehe auch Innenwinkelsummen ↗
Das Galapagos-Dreieck und der Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras in der Form a²=b²+c² gilt für rechtwinklige Dreiecke der sogenannten ebenen Geometrie. Er gilt in dieser Form aber nicht mehr für rechtwinklige Dreiecke auf einer Kugeloberfläche. Mit einem Faden kann man die Länge jede drei Seiten des Dreiecks messen. Man wird feststellen, dass die drei Seiten gleich lang sind. Auch eine geometrische Betrachtung wird zu dem Ergebnis führen, dass alle drei Seiten jeweils ein Viertel des gesamten Kreisumfanges lang sind. Wenn aber alle drei Seiten gleich lang sind, dann kann man für die Länge a, b und c festhalten:
- a+b=2c
- b+c=2a
- a+c=2b
Was sind hier die Hypotenusen und die Katheten?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse üblicherweise definiert als die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Man könnte daraus also schließen, dass in dem Galapagos-Dreieck jede der drei Seiten auch eine Hypotenuse ist. Von Katheten zu sprechen wäre hier weniger sinnvoll, da alle drei Seiten ja gleich lang und die zwei Katheten a) als die kürzeren und b) als nicht gegenüber vom rechten Winkel definiert sind. Für diesen Sonderfall scheint die Definition von Katheten oder Hypotenusen also wenig Sinn zu machen. Siehe auch sphärische Geometrie ↗
Was ist die sphärische Geometrie?
Die Geometrie auf der Oberfläche einer Kugel nennt man sphärische Geometrie. Sphärisch heißt so viel wie kugelig. Die sphärische Geometrie spielt eine große Rolle in der Wissenschaft der Erdvermessung, der sogenannten Geodäsie. Siehe mehr dazu im Artikel sphärische Geometrie ↗
