Definition

Die Anzahl der Ecken plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten gibt für einen Polyeder immer genau 2. Das ist der Eulersche Polyedersatz. Dieser Satz gilt für alle Körper, deren Seitenflächen Vielecke (Polyeder) sind und die keine durchgehenden Löcher (z. B. Bohrungen) haben.^[1]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht eine quadratische Pyramide aus Plexikglas.☛

Satz

Der Eulersche Polyedersatz wird auf unterschiedliche Weisen ausgedrückt, teilweise mit Groß- oder auch mit Kleinbuchstaben. Rechnerischer kommt er immer auf dasselbe hinaus.

E+F-K = 2

F+E-K = 2^[1]

E-K+F = 2^[2]

Legende

E = Anzahl der Ecken eines Vielflächners

F = Anzahl der Flächen eines Vielflächners

K = Anzahl der Kanten eines Vielflächners

Beispiele

Man stelle sich eine normale Pyramide vor. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat. An den Seiten sind vier Dreiecke. Die Dreiecke treffen sich oben in der Spitze. So eine Pyramide hat 5 Ecken, 5 Flächen und 8 Kanten. Man rechnet: E+F-K, also: 5+5-8. Das Ergebnis ist: 2 ✔

Was ist ein Polyeder?

Poly heißt viel und eder Fläche: ein Polyeder ist ein Körper, der ausschließich von ebenen Flächen begrenzt ist. Er hat also keine Wölbungen, Dellen oder Kurven. Seine Kanten sind damit automatisch immer auch nur gerade Strecken und er hat immer auch Ecken im Sinne von spitzen Punkten. Lies mehr zur Definition unter 👉 Polyeder

Gültigkeit

Der Satz gilt für sogenannte konvexe Polyeder. Polyeder meint hier beliebige Körper (3D), deren Flächen keine Krümmungen haben und deren Kanten alle gerade sind. Konvex meint, dass sie keine Vertiefungen nach innen haben. Siehe auch 👉 Konkaves Polyeder

Beispiele

E=5; F=5; K=8 👉 quadratische Pyramide

E=7; F=7; K=12 👉 Sechseckpyramide

E=6; F=6; K=10 👉 Fünfeckpyramide

E=6; F=5; K=9 👉 Dreieckprisma

E=20; F=12; K=30 👉 Dodekaeder

E=12; F=20; K=30 👉 Ikosaeder

E=4; F=4; K=6 👉 Tetraeder

E=6; F=8; K=12 👉 Oktaeder

E=8; F=6 K=12 👉 Würfel

Für planare Graphen

Der Eulersche Polyedersatz gilt auch für zweidimensionale Figuren, sogenannte planare Graphen. Die Knoten und Kanten liegen dann alle in einer gemeinsamen Ebene. Statt von einem Eulerschen Polyedersatz müsste man dann eigentlich von einem Eulerschen Polygonsatz sprechen. Das ist jedoch unüblich. Üblich ist, dass man die 2D-Version als Sonderfall des allgemeinen Polygonsatzes auffasst.

Allgemein

Jede Ecke ist ein Knoten

Jeden Kante endet in genau zwei Knoten

Auch die umgebende Fläche zählt als Fläche

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken: E=3

Ein Dreieck hat drei Kanten: K=3

Ein Dreieck hat zwei Flächen: F=2

E+F-K = 2 gibt dann also: 3+2-3 = 2. Und damit passt das Dreieck auch als zweidimensionale Figur auf den Eulerschen Polyedersatz.

Solche planaren Graphen eignen sich hervorragend für kreative Mathematik in der Grundschule. Siehe mehr dazu unter 👉 planarer Graph

Fußnoten

[1] "Für Polyeder ohne durchgehende Löcher (Polyeder vom Geschlecht Null), insbesondere also für konvexe Polyeder gilt: f+e-k=2." In: der Artikel "Eulersche Polyederformel". Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7.

[2] Der Eulersche Polyedersatz ist ein "geometrischer Satz, wonach für ein Polyeder mit e Ecken, k Kanten und f Flächen gilt: e-k+f=2." In: Brockhaus in Achtzehn Bänden. F. A. Brockhaus. Leipzig, Mannheim. 2002. ISBN für alle Achtzehn Bände gemeinsam: 3-7653-9320-7. Dort im Band 4, der Artikel "Eulerscher Polyedersatz" auf Seite 196.