Eulerscher Polyedersatz


E+F-K = 2


Definition


Die Anzahl der Ecken plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten gibt für einen Polyeder immer genau 2. Das ist der eulersche Polyedersatz. Dieser Satz gilt für alle Körper, deren Seitenflächen Vielecke (Polyeder) sind. Das ist hier ausführlicher erklärt.

Satz


◦ E+F-K = 2

Legende


◦ E = Anzahl der Ecken eines Vielflächners
◦ F = Anzahl der Flächen eines Vielflächners
◦ K = Anzahl der Kanten eines Vielflächners

Beispiele


Man stelle sich eine normale Pyramide vor. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat. An den Seiten sind vier Dreiecke. Die Dreiecke treffen sich oben in der Spitze. So eine Pyramide hat 5 Ecken, 5 Flächen und 8 Kanten. Man rechnet: E+F-K, also: 5+5-8. Das Ergebnis ist: 2 ✔

Was ist ein Polyeder?


Poly heißt viel und eder Fläche: ein Polyeder ist ein Körper, der ausschließich von ebenen Flächen begrenzt ist. Er hat also keine Wölbungen, Dellen oder Kurven. Seine Kanten sind damit automatisch immer auch nur gerade Strecken und er hat immer auch Ecken im Sinne von spitzen Punkten. Lies mehr zur Definition unter => Poyleder

Gültigkeit


Der Satz gilt für sogenannte konvexe Polyeder. Polyeder meint hier beliebige Körper (3D), deren Flächen keine Krümmungen haben und deren Kanten alle gerade sind. Konvex meint, dass sie keine Vertiefungen nach innen haben. Siehe auch => Konkaves Polyeder

Beispiele


◦ E=5; F=5; K=8 => quadratische Pyramide
◦ E=7; F=7; K=12 => Sechseckpyramide
◦ E=6; F=6; K=10 => Fünfeckpyramide
◦ E=6; F=5; K=9 => Dreieckprisma
◦ E=20; F=12; K=30 => Dodekaeder
◦ E=12; F=20; K=30 => Ikosaeder
◦ E=4; F=4; K=6 => Tetraeder
◦ E=6; F=8; K=12 => Oktaeder
◦ E=8; F=6 K=12 => Würfel