Pythagoreischer Aufzug (erste Ableitung)
Analysis
Basiswissen
Der Pythagoreische Aufzug ist ein einfacher Versuch, der ein praktische, geometrische Bedeutung der ersten Ableitung einer Funktion veranschaulicht. Die zum Versuch nötige Seilmechanik kann mit einfachen Mitteln leicht selbst hergestellt werden. Der Versuch dauert etwa 10 Minuten.
Material
An einem aufrecht stehenden Brett sind auf gleicher Höhe zwei Nägel A und B eingeschlagen. Der horizontale Abstand b zwischen den beiden Nägeln kann zum Beispiel 20 Zentimeter betragen. Am linken Nagel ist Schnur mit einer Länge von zum Beispiel einem Meter festgemacht.
Versuchsaufbau
Die Schnur kann sich frei um den Nagel A drehen. Sie hängt dann nach unten durch bis zum Tiefpunkt O und wird dann wieder nach oben über den Nagel B geführt. Von dort hängt sie senkrecht herab bis zu einem Griff Z. An dem Punkt O befindet sich frei an der Schnur beweglich ein kleines Gewicht. Die Mitte zwischen den Nägeln nennen wir M, die Strecke von A nach B kurz m.
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Aufbau und vorgeschlagene Bezeichnungen für den Versuch.
Nun fasst man mit der linken Hand O an. In die rechte Hand nimmt man Z. Man zieht mit beiden Händen so, dass die Schnur straff gespannt ist. O soll immer senkrecht unterhalb von M liegen. Die Strecke von M bis O nennen wir y. Das ist hier die abhängige Variable. Nun ziehen wir gedanklich so an Z, dass die Schnur horizontal von A nach B läuft. Das ist die gedachte Startposition des Experiments. y hat dann den Wert 0. Die Schnurlänge die wir jetzt gedanklich von Z über B nach oben nachgeben nennen wir x. Z nach oben bewegen heißt also, dass sich x vergrößert und infolgedessen auch y.
Formelmäßige Beziehung
Wenn wir das Dreieck ABO gedanklich in zwei deckungsgleiche und rechtwinklige Dreiecke AMO und BMO zerlegen, dann können wir zunächst x in Abhängigkeit von y berechnen. Über den Satz des Pythagoras gilt:
- 2 mal Wurzel aus [(0,5·b)(0,5·b)+y·y)] - m = x
- m ist die Länge der Strecke von A nach B.
Umstellen nach y
- y = Wurzel aus [[(x+b):2] zum Quadrat -(0,5·m)(0,5·m)]
- Und vereinfachen zu:
- y = Wurzel aus [(x·x + 2·x·m):4]
Ableiten
- Nun bildet man die erste Ableitung von y nach x:
- y' = 0,25·(2·x+2·m):[Wurzel aus (x·x + 2·x·m)]]
Anschauliche Deutung von y'
- Der Term für y' gibt an, wie viel mal so stark sich y wie x ändert.
- Man nimmt einen bestimmten x-Wert an. Der x-Wert sagt, wie tief Z bereits nach unten hängt.
- y' gibt für diesen x-Wert an: wie viel mal so stark ändert sich y dort wie x
Fußnoten
- [1] Dem Deutschen Wörterbuch der Deutschen Sprache (DWDS) zufolge (Stand 2024) ist pythagoreisch das korrektive Adjektiv zu Pythagoras. In: der Artikel "pythagoreisch". Siehe zum Beispiel auch pythagoreisches Tripel ↗