Definition

Formale Definition

• Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
  

• Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
  

• Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
  

• Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.
  

Schreibweisen

• Es gibt verschiedene Schreibweisen.
  

• Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
  

• Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x
  

Deutung als Steigung

• Man hat einen Punkt auf einem Graphen gegeben.
  

• Von diesem Punkt nimmt man den x-Wert ↗
  

• Setzt man diesen x-Wert in f'(x) ein,
  

• dann sagt der y-Wert von f'(x),
  

• welche Steigung f(x) an diesem Punkt hat.
  

• Beispiel: f(x) = x²
  

• Ableiten: f'(x) = 2x
  

• Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
  

• Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
  

• Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.
  

• Mehr unter Steigung in einem Punkt ↗
  

Deutung als Änderungsverhältnis

• Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
  

• Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
  

• dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
  

• Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
  

• Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
  

• Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
  

• Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
  

• den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
  

• dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.
  

• Mehr dazu unter Erste Ableitung als Änderungsverhältnis ↗
  

Deutung als Änderungsrate

• Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
  

• Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
  

• Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
  

• wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.
  

• Mehr dazu unter Änderungsrate ↗
  

Deutung im Sachzusammenhang

• Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
  

• Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.
  

• Mehr dazu unter Erste Ableitung im Sachzusammenhang ↗
  

Zahlenbeispiel

• f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
  

• Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
  

• dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
  

• Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.
  

Monotonie

• Wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) streng monoton steigend ↗
  

• Wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) streng monoton fallend ↗
  

• Wo f'(x) 0 oder größer ist, ist f(x) monoton steigend ↗
  

• Wo f'(x) 0 oder kleiner ist, ist f(x) monoton fallend ↗
  

Nullstellen der ersten Ableitung

• Dort wo die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle hat, gibt es für f(x) mehrere Möglichkeiten:
  

• Dort kann sein ein Hochpunkt ↗
  

• Dort kann sein ein Tiefpunkt ↗
  

• Dort kann sein ein Sattelpunkt ↗
  

• Dort kann sei eine Konstante Funktion ↗
  

Besondere Punkte

• Wert der ersten Ableitung Steigung in einem Punkt ↗
  

• Erste Ableitung ist Null, möglicher Hochpunkt ↗
  

• Erste Ableitung ist Null, möglicher Tiefpunkt ↗
  

• Erste Ableitung ist Null, möglicher Sattelpunkt ↗