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Erste Ableitung

f'(x)

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Definition｜ Formale Definition｜ Schreibweisen｜ Deutung als Steigung｜ Deutung als Änderungsverhältnis｜ Deutung als Änderungsrate｜ Deutung im Sachzusammenhang｜ Zahlenbeispiel｜ Monotonie｜ Nullstellen der ersten Ableitung｜ Besondere Punkte｜ Aufgaben (mit Lösung)


Definition


Die erste Ableitung hat zwei unterschiedliche - aber zueinander passende - Bedeutungen. Es ist einmal die Ableitungsfunktion. So hat f(x)=x² die erste Ableitung f'(x)=2x. Zum anderen ist die erste Ableitung auch der Zahlenwert der Steigung für einen Punkt eines Graphen. Beide Bedeutungen werden hier gemeinsam vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die erste Ableitung f'(x) oder auch dy/dx ist gedanklich eng verbunden mit der Steigung eines Funktionsgraphen und Tangenten.☛


Formale Definition


  • Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
  • Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
  • Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
  • Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.

Schreibweisen


  • Es gibt verschiedene Schreibweisen.
  • Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
  • Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x

Deutung als Steigung


  • Man hat einen Punkt auf einem Graphen gegeben.
  • Setzt man diesen x-Wert in f'(x) ein,
  • dann sagt der y-Wert von f'(x),
  • welche Steigung f(x) an diesem Punkt hat.
  • Beispiel: f(x) = x²
  • Ableiten: f'(x) = 2x
  • Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
  • Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
  • Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.

Deutung als Änderungsverhältnis


  • Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
  • Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
  • dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
  • Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
  • Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
  • Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
  • Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
  • den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
  • dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.

Deutung als Änderungsrate


  • Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
  • Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
  • Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
  • wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.

Deutung im Sachzusammenhang


  • Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
  • Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.

Zahlenbeispiel


  • f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
  • Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
  • dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
  • Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.

Monotonie



Nullstellen der ersten Ableitung


  • Dort wo die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle hat, gibt es für f(x) mehrere Möglichkeiten:

Besondere Punkte



Aufgaben (mit Lösung)


a) Nenne drei Bedeutungen der ersten Ableitung?
b) Wie lautet die formale Definition der ersten Ableitung?
c) Warum ist die erste Ableitung selbst eine Funktion?
d) Welche Schreibweisen werden für die Ableitung verwendet?
e) Wie hängt f′(x) mit der Steigung eines Graphen zusammen?
f) Wie berechnet man die Steigung an einem bestimmten Punkt über f'(x)?
g) Was bedeutet f′(x) als Änderungsverhältnis?
h) Wann spricht man von einer Änderungsrate?
i) Wie ist f′(x) mit der Geschwindigkeit verbunden?
j) Welches Standard-Beispiel für die erste Ableitung wird auf der Seite genannt?
k) Wann ist eine Funktion streng monoton steigend?
l) Wann ist sie streng monoton fallend?
m) Was sagen Nullstellen von f′(x) über mögliche Extrema aus?
n) Was ist ein Sattelpunkt?
o) Welche besonderen Punkte treten bei f′(x)=0 auf?
p) Was ist der Steigungswinkel und wie hängt er mit f′ zusammen?
q) Wie kann man f′(x) im Sachzusammenhang deuten?
r) Welche Rolle spielt f′ beim Wachstum geometrischer Größen?
s) Wie nennt man die Schreibweise dy/dx?
t) Was unterscheidet Änderungsverhältnis und Änderungsrate?
u) Warum sollte man beide Deutungen der Ableitung kennen?
v) Wann gilt f′(x)=0, ohne dass ein Extremum vorliegt?
w) Warum kann eine konstante Funktion f′(x)=0 haben?
x) Wie hängt das Monotonieverhalten mit dem Vorzeichen von f′ zusammen?
y) Was bedeutet ein negatives f′(x)?
z) Welche weiteren besonderen Punkte neben Extrema werden erwähnt?

Antworten: a) Steigung, Änderungsverhältnis, Änderungsrate | b) f′(x) | c) Weil jedem x ein f′(x) zugeordnet ist | d) f′(x) oder dy/dx | e) f′(x) ist die Tangentensteigung im Punkt | f) Man setzt den x-Wert in f′(x) ein | g) wie viel mal so stark sich y wie x ändert | h) Wenn x Zeit bedeutet | i) bei f(t) ist f'(t) die Geschwindigkeit | j) f(x)=x², f′(x)=2x | k) Wenn f′>0 | l) Wenn f′<0 | m) Dort liegen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte | n) Punkt mit f′=0, aber ohne Extremum | o) Hoch-, Tief-, Sattelpunkt | p) f′=tan(α) | q) Änderung einer Größe pro Änderung des Arguments | r) Beispielhaft Fläche oder Umfang | s) Leibniz-Schreibweise | t) Verhältnis allgemein vs. Rate pro Zeit | u) Wegen unterschiedlicher Anwendungen | v) Bei Sattelpunkten | w) Keine Änderung der Funktionswerte | x) f′>0 steigend, f′<0 fallend | y) Funktion fällt | z) Wendepunkte


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