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Konstante Funktion


f(x) = feste Zahl


Basiswissen


f(x) = 5 oder y = 5 ist ein typisches Beispiel für eine sogenannte konstante Funktion in der Mathematik. Eine konstante Funktion hat für alle x-Werte immer denselben y-Wert. Im Beispiel hätte jeder x-Wert immer den y-Wert 5. Das sich der y-Wert für eine Funktion nie ändert, sagt man, er sei konstant. Daher hat dieser Funktionstyp seinen Namen. Der Graph einer konstanten Funktion ist immer eine gerade Linie parallel zur x-Achse.

Definition I



Definition II



Beispiele für konstante Funktionen



Der Graph einer konstanten Funktion



Nullstellen einer konstanten Funktion


Eine konstante Funktion hat entweder unendlich viele Nullstellen, nämlich die Funktion f(x)=0, oder sie hat keine einzige Nullstelle (alle anderen Möglichkeiten). Mehr dazu steht im Artikel Nullstellen von konstanten Funktionen bestimmen ↗

Ist eine konstante Funktion auch linear?


Das ist nicht einheitlich definiert. Für das Spektrum Lexikon der Mathematik ist eine Konstante Funktion nur ein Sonderfall einer linearen Funktion. Das Lexikon definiert eine lineare Funktion als f(x)=ax+b und lässt für a und b alle reellen Zahlen zu. Da auch die 0 eine reelle Zahl ist, wäre zum Beispiel auch die konstante Funktion f(x) = 0x+1 oder kurz f(x) = 1 eine lineare Funktion[3]. Das Lehrbuch Papula hingegen zählt die konstante Funktion ausdrücklich nicht zu den linearen Funktion. Für die Funktionsgleichung f(x)=mx+b wird als Wert für m die Null ausdrücklich verboten (m≠0)[1]. Lineare und konstante Funktionen sind aber beide immer auch eine ganzrationale Funktion[2] ↗

Wie setzt man einen x-Wert in eine konstante Funktion ein?


f(x)=4 ist eine typische konstante Funktion. Man ist daran gewöhnt, dass man bei einer Funktion für x eine Zahl einsetzt und dann den dazugehörigen y-Wert herausbekommt. Das geht auch bei einer konstanten Funktion. Man kann entweder so denken, dass die Funktion jedem beliebigen x-Wert automatisch und immer den y-Wert 4 zuordnet. Oder man stellt sich dazu passend die Funktion mit x vor und schreibt: f(x)=4x⁰. Da x⁰ (fast) immer den Wert 1 hat kann jetzt irgendeine Zahl für x einsetzen und erhält dann immer f(x)=4·1, also immer den Funktionswert 4. Man darf für x auch die Zahl 0 einsetzen, obwohl 0 hoch 0 in der Mathematik nicht definiert ist. Man definiert speziell für die konstante Funktion, dass der Funktionswert f(0) immer gleich der Zahl vor dem x⁰ ist, hier also gleich 4. Siehe auch Funktionswert ↗

Der Sonderfall der Nullfunktion


Die einfachst denkbare konstante Funktion ist f(x)=0. Hier wird jedem Wert für x immer nur 0 als y-Wert zugeordnet. Lies mehr unter Nullfunktion ↗

Fußnoten