Basiswissen

Geht man bei einem einseitigen Hebel mit dem Hebelarm immer näher an den Drehpunkt, dann muss man immer mehr Kraft aufwenden, um den Hebel in einer waagrechten Lage zu halten. Der Zusammenhang zwischen dem Abstand x vom Drehpunkt und der nötigen Kraft y ist y=10:x. Anders gesagt: die Kraft y in Newton ist gleich 10 geteilt durch die Länge x des Hebelarms in Zentimetern. Dieser Artikel behandelt die anschauliche Bedeutung der ersten Ableitung y'=-10/x².

Vorversuch zu dieser Betrachtung

Der hier beschriebene Versuch baut auf einem anderen Versuch mit demselben Material auf: ein Holzstab ist an einer Seite drehbar gelagert. Die Lagerung ist der Drehpunkt. In verschiedenen Abständen x von diesem Drehpunkt kann man dann ein Seil befestigen und den Holzstab damit nach oben ziehen. Gemessen wird immer die Kraft y in Newton, die man dann aufwenden muss, sodass der Holzstab in der Waagrechten ist, also horizontal liegt. Mehr zum Aufbau dieses Versuches steht im Artikel einseitiger Hebel (umgekehrt proportional) ↗

Die erste Ableitung bilden

f(x)=10:x ist die Funktion, die den Zusammenhang zwischen nötiger Zugkraft y und dem Angriffspunkt der Kraft am hebel x beschreibt. Diese Funktion kann man jetzt ableiten zu f'(x). Beachte, dass das x, die unabhängige Variable, jetzt im Nenner (unten) von einem Bruch steht. Für diesen Fall gelten besondere Rechenregeln. Siehe dazu durch x ableiten ↗

Die erste Ableitung deuten

Die erste Ableitung ist f'(x)=-10:x². Der Doppelpunkt ist hier wieder ein Geteiltzeichen. Die erste Ableitung sagt generell, wie viel mal so stark sich der y-Wert von f(x) ändert wie der x-Wert verändert wird. Die erste Ableitung ist also auch das Verhältnis von y-Änderung zu x-Änderung. Interessant ist jetzt die Frage, was das hier im konkreten Fall des Hebelversuches bedeutet. Zur anschaulichen Bedeutung der ersten Ableitung siehe auch erste Ableitung im Sachzusammenhang ↗

Den Betrag deuten

f(x)=10/x gibt abgeleitet f'(x)=-10/x². Das heißt, dass sich bei kleinen Änderungen von x, der y-Wert 2,5 mal oder zweieinhalb mal so stark ändert wie der x-Wert (das negative Vorzeichen wird weiter unten behandelt). Lies mehr zu dieser Deutung der ersten Ableitung unter erste Ableitung als Änderungsverhältnis ↗

Das negative Vorzeichen deuten

f(x)=10/x gibt abgeleitet f'(x)=-10/x². Was bedeutet das negative Vorzeichen? Setzt man zum Beispiel für x=2 ein, erhält man f'(2)=-2,5 als Wert der ersten Ableitung. Das heißt, wenn man in der Nähe von x=2 den x-Wert ein klein Bißchen, zum Beispiel um 0,1 vergrößert, dann ändert sich der y-Wert um das ungefähr -2,5fache. Der y-Wert wird also um etwa 2,5 kleiner. Prüfe das mit dem Experiment und auch mit der Formel für f(x) nach.

Video zur Veranschaulichung

Das Video baut auf der Erklärung des einseitigen Hebels auf. Der Wert der ersten Ableitung für einen bestimmten x-Wert sagt immer für die nähere Umgebung dieses x-Wertes, wie viel mal größer dort die Änderung des y-Wertes ist, wenn man den x-Wert um einen sehr kleinen Betrag ändert.^[1]

Fußnoten

[1] Ein Tafelbild zeigt den Graphen der umgekehrt proportionalen Funktion y=10/x. Wie dieser Graph zustande kam ist erklärt auf der Seite einseitiger Hebel ↗