Steigung in einem Punkt
Interpretation
Basiswissen
Kurzdefinition: Funktionsgraphen können an unterschiedlichen Punkten unterschiedlich steil sein. Wie steil ein Graph an genau einem Punkt ist nennt man auch den Ableitungswert, oft kurz auch nur die Ableitung oder eindeutiger: die Steigung in einem Punkt. Diese Steigung kann beliebige - auch negative - Zahlenwerte annehmen.
Was meint Steigung an sich?
- Steigung wurde zunächst an einer Geraden definiert:
- An der Geraden werden zwei unterschiedliche Punkte markiert.
- Rechnet man den x-Unterschied der Punkt mal der Steigung, ...
- erhält man immer den y-Unterschied der Punkte. Anders gesagt:
- Die Steigung ist das Verhältnis des y- zum x-Unterschied zweier Punkte.
- Die Steigung ausrechnen kann man entsprechend darüber, dass man ...
- den y-Unterschied durch den x-Unterschied zweier Punkte teilt.
Muss man immer zwei Punkte haben?
- Ja, für die Berechnung braucht man immer zwei Punkte.
- Die Steigung sagt immer, wie steil der kürzeste Weg ...
- von einem Punkt zu einem anderen Punkt ist.
Was ist das Problem am Steigungsbegriff?
- In einem Punkt alleine gibt es keine Steigung.
- Erstens versagt die Formel zur Berechnung der Steigung.
- Man braucht zwei verschiedene Punkte zur Berechnung.
- Man könnte jetzt sagen, dass die zwei Punkte identisch wären.
- Dann wäre aber der x-Unterschied gleich 0 und man müsste durch 0 teilen.
- Auch gibt die Steilheit zwischen zwei identischen Punkten keinen Sinn.
Was meint dann Steigung in einem Punkt?
- Es gibt zwei unterschiedliche aber konsistente Deutungen:
- Als Tangentensteigung und als ...
- lokales Änderungsverhältnis.
Als Tangentensteigung
- Man sagt: die Steigung an einem Punkt P sei identisch mit ...
- der Steigung von der Tangente an diesem Punkt P.
- Mehr dazu unter Tangentensteigung ↗
Als Änderungsverhältnis
- Die Steigung im Punkt P ist die Steigung in der Umgebung von P.
- Umgebung in der Mathematik meint: beliebig nahe an etwas dran.
- Beliebig nahe meint: wenn nötig, immer noch näher als bisher.
- Jetzt funktionieren Berechnung und Interpretation:
- Man nimmt einen Punkt P und denkt sich zwei andere Punkte Q und R.
- Punkt P soll der Punkt sein, für den man die Steigung meint.
- Alle drei Punkte P, Q und R sollen auf dem Graphen einer Funktion liegen.
- Wenn Q und R nah genug an P liegen, dann gibt der x-Unterschied mal ...
- die Steigung in etwa recht gut den y-Unterschied an.
- Je näher Q und R an P sind, desto besser besser passt die Zahl.
Wie berechnet man die Steigung in einem Punkt?
- Am einfachsten über die Erste Ableitung ↗
- Aus Grundlagen über das Sekantenverfahren ↗
Berechnung am Zahlenbeispiel
- Wir nehmen den Graphen der Normalparabel f(x)=x².
- Was wäre die Steigung an den Punkt (3|9)?
- Über die erste Ableitung f'(x)=2x ...
- kriegt man die Steigung 6 heraus.
Bedeutung am Zahlenbeispiel
- Was bedeutet "Steigung 6 im Punkt (3|9)" bei der Normalparabel?
- Das meint: wenn man sehr kleine Steigungsdreicke dort zeichnet,
- dann ist Delty y immer ziemlich genau das 6fache von Delta x.
- Je kleiner das Steigungsdreieck ist und je näher an (3|9), ...
- desto besser passt die Zahl 6.
