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Steigung in einem Punkt

Interpretation

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Basiswissen｜ Was meint Steigung an sich?｜ Muss man immer zwei Punkte haben?｜ Was ist das Problem am Steigungsbegriff?｜ Was meint dann Steigung in einem Punkt?｜ Als Tangentensteigung｜ Als Änderungsverhältnis｜ Wie berechnet man die Steigung in einem Punkt?｜ Berechnung am Zahlenbeispiel｜ Bedeutung am Zahlenbeispiel｜ Synonyme


Basiswissen


Kurzdefinition: Funktionsgraphen können an unterschiedlichen Punkten unterschiedlich steil sein. Wie steil ein Graph an genau einem Punkt ist nennt man auch den Ableitungswert, oft kurz auch nur die Ableitung oder eindeutiger: die Steigung in einem Punkt. Diese Steigung kann beliebige - auch negative - Zahlenwerte annehmen.



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Das Bild hat einen oberen und eine unteren Teil.☛


Was meint Steigung an sich?


  • Steigung wurde zunächst an einer Geraden definiert:
  • An der Geraden werden zwei unterschiedliche Punkte markiert.
  • Rechnet man den x-Unterschied der Punkt mal der Steigung, ...
  • erhält man immer den y-Unterschied der Punkte. Anders gesagt:
  • Die Steigung ist das Verhältnis des y- zum x-Unterschied zweier Punkte.
  • Die Steigung ausrechnen kann man entsprechend darüber, dass man ...
  • den y-Unterschied durch den x-Unterschied zweier Punkte teilt.

Muss man immer zwei Punkte haben?


  • Ja, für die Berechnung braucht man immer zwei Punkte.
  • Die Steigung sagt immer, wie steil der kürzeste Weg ...
  • von einem Punkt zu einem anderen Punkt ist.

Was ist das Problem am Steigungsbegriff?


  • In einem Punkt alleine gibt es keine Steigung.
  • Erstens versagt die Formel zur Berechnung der Steigung.
  • Man braucht zwei verschiedene Punkte zur Berechnung.
  • Man könnte jetzt sagen, dass die zwei Punkte identisch wären.
  • Dann wäre aber der x-Unterschied gleich 0 und man müsste durch 0 teilen.
  • Auch gibt die Steilheit zwischen zwei identischen Punkten keinen Sinn.

Was meint dann Steigung in einem Punkt?


  • Es gibt zwei unterschiedliche aber konsistente Deutungen:
  • Als Tangentensteigung und als ...
  • lokales Änderungsverhältnis.

Als Tangentensteigung


  • Man sagt: die Steigung an einem Punkt P sei identisch mit ...
  • der Steigung von der Tangente an diesem Punkt P.

Als Änderungsverhältnis


  • Die Steigung im Punkt P ist die Steigung in der Umgebung von P.
  • Umgebung in der Mathematik meint: beliebig nahe an etwas dran.
  • Beliebig nahe meint: wenn nötig, immer noch näher als bisher.
  • Jetzt funktionieren Berechnung und Interpretation:
  • Man nimmt einen Punkt P und denkt sich zwei andere Punkte Q und R.
  • Punkt P soll der Punkt sein, für den man die Steigung meint.
  • Alle drei Punkte P, Q und R sollen auf dem Graphen einer Funktion liegen.
  • Wenn Q und R nah genug an P liegen, dann gibt der x-Unterschied mal ...
  • die Steigung in etwa recht gut den y-Unterschied an.
  • Je näher Q und R an P sind, desto besser besser passt die Zahl.

Wie berechnet man die Steigung in einem Punkt?



Berechnung am Zahlenbeispiel


  • Wir nehmen den Graphen der Normalparabel f(x)=x².
  • Was wäre die Steigung an den Punkt (3|9)?
  • Über die erste Ableitung f'(x)=2x ...
  • kriegt man die Steigung 6 heraus.

Bedeutung am Zahlenbeispiel


  • Was bedeutet "Steigung 6 im Punkt (3|9)" bei der Normalparabel?
  • Das meint: wenn man sehr kleine Steigungsdreiecke dort zeichnet,
  • dann ist Delty y immer ziemlich genau das 6fache von Delta x.
  • Je kleiner das Steigungsdreieck ist und je näher an (3|9), ...
  • desto besser passt die Zahl 6.

Synonyme