Bogenmaß
z. B. α = 1,5 rad
Basiswissen
Ein Rad ist die Einheit des Winkel im Bogenmaß und entspricht etwa 57,3° im üblichen Gradmßa. Eine Angabe von Winkeln in rad ist zunächst eher ungewöhnlich, aber sie ist sehr anschaulich und erleichtert viele Rechnungen in der Physik und Technik ganz außerordentlicht, wenn man sie einmal anschaulich verstanden hat. Das ist hier erklärt.
Rad und Bogenmaß anschaulich
- Das Bogenmass ist eine Art Winkel anzugeben.
- Man denke sich auf einer Kreislinie (Kreisrand) zwei Punkte.
- Die Länge der Verbindungsstrecke auf der Kreislinie heißt Kreisbogen.
- Man ziehe von jedem der Punkte eine Linie zum Kreismittelpunkt.
- Diese beiden Linien bilden die Schenkel eines Winkels.
- Der Kreismittelmittelpunt ist dann der Scheitel des Winkels.
- Das Bogenmaß ist das Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius.
- Es sagt: wie viel mal so lang ist der Kreisbogen wie der Kreisradius.
- Kennt man das Bogenmaß als Zahl, weiß man, wie viel mal so lang ...
- der Kreisbogen ist wie der Kreisradius.
- Damit kann man eindeutig den oben beschriebenen Winkel zeichnen.
- Somit ist der Winkel über das Bogenmaß auch eindeutig festgelegt.
Erklärskizze zum mitzeichnen
- Denke dir einen Punkt M.
- Gehe von diesem Punkt M aus eine Strecke a bis zum Punkt P.
- Denke dir jetzt M als den Mittelpunkt und a als den Radius einen Kreises.
- Gehe auf der gedachten Kreislinie ein Vielfaches v des Radius a entlang.
- Dieses Stück auf der gedachten Kreislinie nennt man den Kreisbogen (Namensgeber).
- Gehe vom Ende dieses Kreisbogen (Punkt E) auf einer geraden zurück zum Punkt M.
- Durch dieses Vorgehen entsteht immer ein => Kreisausschnitt [Tortenstück]
Bogenmaß
- Das Kreissegment (Tortenstück) steht jetzt für einen Winkel.
- Die beiden geraden Striche von M aus sind die => Winkelschenkel
- M ist der => Winkelscheitel
- Je weiter man bei gegebenem Radius auf der Kreislinie geht, ...
- desto größer ist der so erzeugte Winkel α.
- Die Kreisbogenlänge wird als Vielfaches v des Radius angegeben.
- Dieses Vielfache v ist damit ein eindeutiges Maß für die Größe von α.
Mit Pi
- Tipp: Pi ist keine Einheit sondern meint die Zahl 3,14...
- 1,5·Pi meint also nur die Zahl 4,7 (etwa).
- Wandle Pi immer erst um in etwa 3,14.
- Ein Winkel von 1,5 Pi im Bogenmaß meint dann:
- Man geht auf der Kreislinie etwa 4,7 mal so weit wie der Radius lang ist.
Ohne Pi
- Ein Winkel von 0,1 im Bogenmaß meint:
- Man geht auf der Kreislinie das 0,1fache des Radius ab.
Nutzen
- Kennt man den Winkel im Bogenmass, z. B. 0,8Pi, ...
- dann weiß man sofort: der Kreisbogen ist 0,8 mal Pi mal so lang wie der Radius.
- Bei Angaben im Bogenmaß kann man schnell mit mal und geteilt zwischen ...
- Radius und Kreisbogenlänge hin und her rechnen.
- Bei Angaben in Grad ist das wesentlich aufwändiger.
Umwandeln
=> Grad in Rad umwandeln
=> Rad in Grad umwandeln
=> Bogenmaße [Tabelle]
