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Lineare Funktion

y=mx+b

© 2016 - 2025


Basiswissen · Wie ist eine lineare Funktion definiert? · Welche Schreibweisen sind üblich? · Was bedeutet f(x)? · Was bedeutet das m oder a? · Was bedeutet das n oder b? · Ist eine lineare Funktion auch proportional? · Gehört eine Gerade immer zu einer linearen Funktion? · Was gilt für eine senkrechte Gerade? · Beispiele · Der Graph einer lineare Funktion · Geradengleichung erkennen · Besondere Punkte einer lineare Funktion · Die Steigung einer linearen Funktion · Darstellungsformen einer linearen Funktion · Gleichung aufstellen für lineare Funktionen · Graph einer linearen Funktion zeichnen · Parallele und senkrechte Geraden · Schnittpunkte einer lineare Funktion · Praktische Versuche zur linearen Funktion · 3D-Gerade als Art lineare Funktion · Sonstige Themen zur linearen Funktion · Synonyme · Fußnoten


Basiswissen


Jede Funktion, deren Funktionsgleichung man in der Form f(x)=mx+b schreiben kann heißt linear. Der Graph einer linearen Funktion ist immer einer Gerade (aber nicht jede Gerade gehört zu einer linearen Funktion). Auf dieser Seite stehen wichtige Fachworte zu linearen Funktionen.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die Gleichung der Geraden hier im Bild ist gleichzeitig auch die Gleichung einer linearen Funktion: y=0,5x+1☛


Wie ist eine lineare Funktion definiert?


  • Jede Gleichung, die man so umformen kann, ...
  • dass sie die folgende Form hat heißt linear:
  • f(x) = m·x + b, oder kurz:
  • f(x) = mx + b

Welche Schreibweisen sind üblich?


Die wahrscheinlich häufigste Schreibweise für die lineare Funktion ist y = mx + b[1][2] oder auch f(x)=ax+b[3]. Man nennt diese Form die Normalform. Man hat links vom Gleichheitszeichen ein f(x) oder auch ein y. Beides ist korrekt. Rechts steht dann eine Zahl. Diese wird oft mit m oder a abgekürzt. Dann folgt das x und dann folgt plus irgendeine Zahl ohne x. Das wird oft mit b oder n abgekürzt:

  • f(x) = mx + b oder y = mx + b
  • f(x) = mx + n oder y = mx + n
  • f(x) = ax + n oder y = ax + n
  • f(x) = ax + b oder y = ax + b

Was bedeutet f(x)?


  • f(x) macht deutlich, dass eine lineare Funktion gemeint ist.
  • Das heißt: der Graph ist eine Gerade, aber nicht senkrecht.
  • Und: für einen x-Wert eingesetzt gibt es immer nur genau einen y-Wert.
  • Statt f(x) wird oft auch y geschrieben, z. B. y = 4x+4
  • Mit y geschrieben kann aber auch eine Gleichung gemeint sein.

Was bedeutet das m oder a?


  • m wird oft auch als a geschrieben.
  • Beide Buchstaben meinen hier dasselbe.
  • Sie geben die Steigung der Funktion an.
  • Bei f(x) = 2x+5 hat die Funktion die Steigung 5.

Was bedeutet das n oder b?


  • n oder b meinen hier dasselbe.
  • Sie stehen für den y-Achsenabschnitt der Funktion.
  • Bei f(x) = 2x+5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl 5.
  • Bei f(x) = 2x-5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl -5.
  • Das Vorzeichen gehört also zum y-Achsenabschnitt mit dazu.

Ist eine lineare Funktion auch proportional?


  • Manchmal, aber nicht immer:
  • Wenn der y-Achsenabschnitt bei 0 liegt, dann ist die Funktion auch proportional.
  • Liegt der y-Achsenabschnitt nicht bei 0, ist sie auch nicht proportional.
  • Proportionalität erkennt man leicht am Graphen: die Gerade geht durch (0|0).
  • Jede proportionale Funktion ist automatisch und immer auch linear.
  • Aber nicht jede lineare Funktion ist auch proportional.

Gehört eine Gerade immer zu einer linearen Funktion?


  • Nein.
  • Beispiel: f(x) = 0x+4
  • Kurz geschrieben: f(x) = 4
  • Das ist eine sogenannte konstante Funktion.
  • Bei einer konstanten Funktion ist die Gerade parallel zur x-Achse.
  • Eine konstante Funktion gilt nicht immer als lineare Funktion

Was gilt für eine senkrechte Gerade?


  • Es gibt Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen.
  • Sie gehen also senkrecht von unten nach oben.
  • Ein Beispiel für entsprechende Gleichung ist: x=2
  • Dies ist aber überhaupt gar keine Funktion.
  • Dem x-Wert 2 sind unendlich viele y-Werte zugeordnet.

Beispiele



Der Graph einer lineare Funktion


  • Der Graph einer linearen Funktion heißt Gerade ↗
  • Die Gerade darf, muss aber nicht durch den Ursprung (0|0) gehen.
  • Die Gerade darf von links nach rechts bergauf gehen.
  • Die Gerade darf von links nach rechts bergab gehen.
  • Die Gerade darf nicht waagrecht verlaufen.
  • Die Gerade darf nicht senkrecht verlaufen.

Geradengleichung erkennen



Besondere Punkte einer lineare Funktion



Die Steigung einer linearen Funktion



Darstellungsformen einer linearen Funktion



Gleichung aufstellen für lineare Funktionen



Graph einer linearen Funktion zeichnen



Parallele und senkrechte Geraden



Schnittpunkte einer lineare Funktion



Praktische Versuche zur linearen Funktion


  • Einige Beispiele:

3D-Gerade als Art lineare Funktion


  • Es gibt auch Geraden in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
  • Die Geradengleichung sieht dann aber ganz anders aus.

Sonstige Themen zur linearen Funktion



Synonyme



Fußnoten


  • [1] Konstante und lineare Funktionen. In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort Seite 191.
  • [2] Lehr- und Übungsbuch Mathematik I. 20. Auflage. 1989. Verlag Harri Deutsch. ISBN: 3-871-44-401-4. Dort die Seite 276.
  • [3] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Dort die Seite 292.