Lineare Funktion
y=mx+b
Basiswissen
Jede Funktion, deren Funktionsgleichung man in der Form f(x)=mx+b schreiben kann heißt linear. Der Graph einer linearen Funktion ist immer einer Gerade (aber nicht jede Gerade gehört zu einer linearen Funktion). Auf dieser Seite stehen zentrale Fachworte zu linearen Funktionen.
Wie lautet die Definition?
◦ Jede Gleichung, die man so umformen kann, ...
◦ dass sie die folgende Form hat heißt linear:
◦ f(x) = m·x + b, oder kurz:
◦ f(x) = mx + b
Welche Schreibweisen sind üblich?
◦ f(x) = mx + b
◦ f(x) = mx + n
◦ f(x) = ax + n
◦ f(x) = ax + b
Was bedeutet f(x)?
◦ f(x) macht deutlich, dass eine lineare Funktion gemeint ist.
◦ Das heißt: der Graph ist eine Gerade, aber nicht senkrecht.
◦ Und: für einen x-Wert eingesetzt gibt es immer nur genau einen y-Wert.
◦ Statt f(x) wird oft auch y geschrieben, z. B. y = 4x+4
◦ Mit y geschrieben kann aber auch eine Gleichung gemeint sein.
◦ Siehe auch => Gleichung oder Funktion
Was bedeutet das m oder a?
◦ m wird oft auch als a geschrieben.
◦ Beide Buchstaben meinen hier dasselbe.
◦ Sie geben die Steigung der Funktion an.
◦ Bei f(x) = 2x+5 hat die Funktion die Steigung 5.
◦ Mehr dazu unter => Steigung einer linearen Funktion
Was bedeutet das n oder b?
◦ n oder b meinen hier dasselbe.
◦ Sie stehen für den y-Achsenabschnitt der Funktion.
◦ Bei f(x) = 2x+5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl 5.
◦ Bei f(x) = 2x-5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl -5.
◦ Das Vorzeichen gehört also zum y-Achsenabschnitt mit dazu.
◦ Mehr dazu unter => y-Achsenabschnitt
Ist eine lineare Funktion auch proportional?
◦ Manchmal, aber nicht immer:
◦ Wenn der y-Achsenabschnitt bei 0 liegt, dann ist die Funktion auch proportional.
◦ Liegt der y-Achsenabschnitt nicht bei 0, ist sie auch nicht proportional.
◦ Proportionalität erkennt man leicht am Graphen: die Gerade geht durch (0|0).
◦ Jede proportionale Funktion ist automatisch und immer auch linear.
◦ Aber nicht jede lineare Funktion ist auch proportional.
◦ Mehr dazu unter => proportionale Funktion
Gehört eine Gerade immer zu einer linearen Funktion?
◦ Nein.
◦ Beispiel: f(x) = 0x+4
◦ Kurz geschrieben: f(x) = 4
◦ Das ist eine sogenannte konstante Funktion.
◦ Bei einer konstanten Funktion ist die Gerade parallel zur x-Achse.
◦ Eine konstante Funktion ist niemals eine lineare Funktion.
◦ Mehr dazu unter => konstante Funktion
Was gilt für eine senkrechte Gerade?
◦ Es gibt Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen.
◦ Sie gehen also senkrecht von unten nach oben.
◦ Ein Beispiel für entsprechende Gleichung ist: x=2
◦ Dies ist aber überhaupt gar keine Funktion.
◦ Dem x-Wert 2 sind unendlich viele y-Werte zugeordnet.
◦ Mehr dazu unter => Gerade mit unendlicher Steigung
Beispiele
=> Lineare Funktionen
=> Keine lineare Funktionen
Graph
◦ Der Graph einer linearen Funktion heißt: Gerade
◦ Die Gerade darf, muss aber nicht durch den Ursprung (0|0) gehen.
◦ Die Gerade darf von links nach rechts bergauf gehen.
◦ Die Gerade darf von links nach rechts bergab gehen.
◦ Die Gerade darf nicht waagrecht verlaufen.
◦ Die Gerade darf nicht senkrecht verlaufen.
Geradengleichung erkennen
=> Normalform der linearen Funktion
=> Lineare Funktionen erkennen => qck
Besondere Punkte
=> x-Achsenabschnitt von Geraden bestimmen
=> y-Achsenabschnitt von Geraden bestimmen => qck
=> Nullstellen von Geraden bestimmen [irgendwie] => qck
=> Nullstellen von Geraden berechnen [rechnerisch] => qck
=> Punktprobe => qck
Steigung
=> Steigungsdreieck
=> Steigung aus Steigungsdreieck
=> Steigung aus zwei Punkten => qck
=> Steigung einer linearen Funktion
Formen
=> Normalform der Geradengleichung
=> Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung
=> Punktsteigungsform der Geradengleichung
Gleichung aufstellen
=> Geradengleichung aus Graph [Übersicht]=> qck
=> Geradengleichung aus Graph über Steigung und y-Achsenabschnitt
=> Geradengleichung aus Graph über Steigung und Punkt
=> Geradengleichung aus Graph über zwei Punkte
=> Geradengleichung aus zwei Punkten => qck
=> Geradengleichung aus Steigung und Punkt => qck
=> Geradengleichung aus Steigung und y-Achsenabschnitt => qck
=> Geradengleichung aus y-Achsenabschnitt und Punkt
=> Geradengleichung aus Tabelle
=> Geradengleichung aus Text => qck => pdf
=> Geradengleichung aus Punktewolke => qck
=> Lineare Funktionen Steckbriefaufgaben => qck
Graph zeichnen
=> Gerade zeichnen aus Tabelle
=> Gerade zeichnen aus zwei Punkten
=> Gerade zeichnen aus Steigung und Punkt => qck
=> Gerade zeichnen aus Steigung und y-Achsenabschnitt
=> Graph aus Geradengleichung => qck => pdf
Parallel und senkrecht
=> Parallele Geraden
=> Senkrechte Geraden
Schnittpunkte
=> Anzahl Schnittpunkte von zwei Geraden
=> Schnittpunkte von zwei Geraden berechnen => qck
=> Schnittpunkte von zwei Geraden graphisch bestimmen
Versuche
◦ Einige Beispiele:
◦ Wie weit kommt eine Eisenbahn in welcher Zeit => Kiste 7 [Verschiedene mit der Eisenbahn]
◦ Wie hängen Drehungen und Länge zusammen => Kiste 25 Schraubenversuch [etwa 10 min]
◦ Wie weit kommt ein Rad pro Umdrehung => Kiste 18 Radrollversuch [etwa 10 min]
◦ Wie hoch hängt ein Container => Containerbrücke proportional => qck
◦ Wie hoch hängt ein Container => Containerbrücke linear => qck
◦ Alle Versuche unter => Geradengleichung aus Versuch
3D-Gerade
◦ Es gibt auch Geraden in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
◦ Die Geradengleichung sieht dann aber ganz anders aus.
◦ Mehr dazu unter => 3D-Gerade
Sonstiges
=> Normalform der Geradengleichung grafisch => qck
=> Lineare Gleichungen lösen => qck
=> Lineare Funktionen nach Formen
=> Grundwertaufgaben => qck
=> Textaufgaben Linearität => qck
=> Linearität => qck
=> Proportionalität => qck
=> Lineare Funktion ableiten => qck
=> Lineare Funktionen Diskussion [Oberstufe] => qck
Synonyme
=> Ganzrationale Funktion ersten Grades
=> Lineare Funktion
=> Geradenfunktion
