Lineare Funktion
y=mx+b
Basiswissen
Jede Funktion, deren Funktionsgleichung man in der Form f(x)=mx+b schreiben kann heißt linear. Der Graph einer linearen Funktion ist immer einer Gerade (aber nicht jede Gerade gehört zu einer linearen Funktion). Auf dieser Seite stehen wichtige Fachworte zu linearen Funktionen.
Wie ist eine lineare Funktion definiert?
- Jede Gleichung, die man so umformen kann, ...
- dass sie die folgende Form hat heißt linear:
- f(x) = m·x + b, oder kurz:
- f(x) = mx + b
Welche Schreibweisen sind üblich?
Die wahrscheinlich häufigste Schreibweise für die lineare Funktion ist y = mx + b [1][2] oder auch f(x)=ax+b [3]. Man nennt diese Form die Normalform. Man hat links vom Gleichheitszeichen ein f(x) oder auch ein y. Beides ist korrekt. Rechts steht dann eine Zahl. Diese wird oft mit m oder a abgekürzt. Dann folgt das x und dann folgt plus irgendeine Zahl ohne x. Das wird oft mit b oder n abgekürzt:
- f(x) = mx + b oder y = mx + b
- f(x) = mx + n oder y = mx + n
- f(x) = ax + n oder y = ax + n
- f(x) = ax + b oder y = ax + b
Was bedeutet f(x)?
- f(x) macht deutlich, dass eine lineare Funktion gemeint ist.
- Das heißt: der Graph ist eine Gerade, aber nicht senkrecht.
- Und: für einen x-Wert eingesetzt gibt es immer nur genau einen y-Wert.
- Statt f(x) wird oft auch y geschrieben, z. B. y = 4x+4
- Mit y geschrieben kann aber auch eine Gleichung gemeint sein.
- Siehe auch => Gleichung oder Funktion
Was bedeutet das m oder a?
- m wird oft auch als a geschrieben.
- Beide Buchstaben meinen hier dasselbe.
- Sie geben die Steigung der Funktion an.
- Bei f(x) = 2x+5 hat die Funktion die Steigung 5.
- Mehr dazu unter => Steigung einer linearen Funktion
Was bedeutet das n oder b?
- n oder b meinen hier dasselbe.
- Sie stehen für den y-Achsenabschnitt der Funktion.
- Bei f(x) = 2x+5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl 5.
- Bei f(x) = 2x-5 ist der y-Achsenabschnitt die Zahl -5.
- Das Vorzeichen gehört also zum y-Achsenabschnitt mit dazu.
- Mehr dazu unter => y-Achsenabschnitt
Ist eine lineare Funktion auch proportional?
- Manchmal, aber nicht immer:
- Wenn der y-Achsenabschnitt bei 0 liegt, dann ist die Funktion auch proportional.
- Liegt der y-Achsenabschnitt nicht bei 0, ist sie auch nicht proportional.
- Proportionalität erkennt man leicht am Graphen: die Gerade geht durch (0|0).
- Jede proportionale Funktion ist automatisch und immer auch linear.
- Aber nicht jede lineare Funktion ist auch proportional.
- Mehr dazu unter => proportionale Funktion
Gehört eine Gerade immer zu einer linearen Funktion?
- Nein.
- Beispiel: f(x) = 0x+4
- Kurz geschrieben: f(x) = 4
- Das ist eine sogenannte konstante Funktion.
- Bei einer konstanten Funktion ist die Gerade parallel zur x-Achse.
- Eine konstante Funktion gilt nicht immer als lineare Funktion
- Mehr dazu unter => konstante Funktion
Was gilt für eine senkrechte Gerade?
- Es gibt Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen.
- Sie gehen also senkrecht von unten nach oben.
- Ein Beispiel für entsprechende Gleichung ist: x=2
- Dies ist aber überhaupt gar keine Funktion.
- Dem x-Wert 2 sind unendlich viele y-Werte zugeordnet.
- Mehr dazu unter => Gerade mit unendlicher Steigung
Beispiele
=> Lineare Funktionen
=> Keine lineare Funktionen
Der Graph einer lineare Funktion
- Der Graph einer linearen Funktion heißt => Gerade
- Die Gerade darf, muss aber nicht durch den Ursprung (0|0) gehen.
- Die Gerade darf von links nach rechts bergauf gehen.
- Die Gerade darf von links nach rechts bergab gehen.
- Die Gerade darf nicht waagrecht verlaufen.
- Die Gerade darf nicht senkrecht verlaufen.
Geradengleichung erkennen
=> Normalform der linearen Funktion
=> Lineare Funktionen erkennen => qck
Besondere Punkte einer lineare Funktion
=> x-Achsenabschnitt von Geraden bestimmen
=> y-Achsenabschnitt von Geraden bestimmen => qck
=> Nullstellen von Geraden bestimmen [irgendwie] => qck
=> Nullstellen von Geraden berechnen [rechnerisch] => qck
=> Punktprobe => qck
Die Steigung einer linearen Funktion
=> Steigungsdreieck
=> Steigung aus Steigungsdreieck
=> Steigung aus zwei Punkten => qck
=> Steigung einer linearen Funktion
Darstellungsformen einer linearen Funktion
=> Normalform der Geradengleichung
=> Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung
=> Punktsteigungsform der Geradengleichung
Gleichung aufstellen für lineare Funktionen
=> Geradengleichung aus Graph [Übersicht]=> qck
=> Geradengleichung aus Graph über Steigung und y-Achsenabschnitt
=> Geradengleichung aus Graph über Steigung und Punkt
=> Geradengleichung aus Graph über zwei Punkte
=> Geradengleichung aus zwei Punkten => qck
=> Geradengleichung aus Steigung und Punkt => qck
=> Geradengleichung aus Steigung und y-Achsenabschnitt => qck
=> Geradengleichung aus y-Achsenabschnitt und Punkt
=> Geradengleichung aus Tabelle
=> Geradengleichung aus Text => qck => pdf
=> Geradengleichung aus Punktewolke => qck
=> Lineare Funktionen Steckbriefaufgaben => qck
Graph einer linearen Funktion zeichnen
=> Gerade zeichnen aus Tabelle
=> Gerade zeichnen aus zwei Punkten
=> Gerade zeichnen aus Steigung und Punkt => qck
=> Gerade zeichnen aus Steigung und y-Achsenabschnitt
=> Graph aus Geradengleichung => qck => pdf
Parallele und senkrechte Geraden
=> Parallele Geraden
=> Senkrechte Geraden
Schnittpunkte einer lineare Funktion
=> Anzahl Schnittpunkte von zwei Geraden
=> Schnittpunkte von zwei Geraden berechnen => qck
=> Schnittpunkte von zwei Geraden graphisch bestimmen
Praktische Versuche zur linearen Funktion
- Einige Beispiele:
- Wie weit kommt eine Eisenbahn in welcher Zeit => Kiste 7 [Verschiedene mit der Eisenbahn]
- Wie hängen Drehungen und Länge zusammen => Kiste 25 Schraubenversuch [etwa 10 min]
- Wie weit kommt ein Rad pro Umdrehung => Radrollversuch (proportional)
- Wie weit kommt ein mit Startposition => Radrollversuch (linear)
- Wie hoch hängt ein Container => Containerbrücke (proportional) => qck
- Wie hoch hängt ein Container => Containerbrücke (linear) => qck
- Alle Versuche unter => Geradengleichung aus Versuch
3D-Gerade als Art lineare Funktion
- Es gibt auch Geraden in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
- Die Geradengleichung sieht dann aber ganz anders aus.
- Mehr dazu unter => 3D-Gerade
Sonstige Themen zur linearen Funktion
=> Lineare Gleichungen lösen => qck
=> Lineare Funktionen nach Formen
=> Grundwertaufgaben => qck
=> Textaufgaben Linearität => qck
=> Linearität => qck
=> Proportionalität => qck
=> Lineare Funktion ableiten => qck
=> Lineare Funktionen Diskussion [Oberstufe] => qck
Synonyme
=> Ganzrationale Funktion ersten Grades
=> Lineare Funktion
=> Geradenfunktion
Literatur
- [1] Konstante und lineare Funktionen. In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort Seite 191.
- [2] Lehr- und Übungsbuch Mathematik I. 20. Auflage. 1989. Verlag Harri Deutsch. ISBN: 3-871-44-401-4. Dort die Seite 276.
- [3] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Dort die Seite 292.
