Geradengleichung aus Punktewolke
6 Einsteigeraufgaben
a) Zeichne ein Koordinatensystem:
y-Achse von 0 bis 2400 oder 2500 skalieren
b) Trage die 20 Punkte unten in das Koordinatensystem ein.
Die erste Zahl ist immer der x-Wert.
Die zweite Zahl ist immer der y-Wert.
(8.2|554)
(24.7|1650)
(27.6|1854)
(11.4|657)
(9.6|610)
(10.1|553)
(16.9|1275)
(31.3|2194)
(9.7|839)
(26.3|1760)
(24.4|1792)
(25.1|1947)
(22.0|1655)
(10.4|896)
(18.0|1496)
(5.8|628)
(3.5|131)
(24.7|1726)
(9.8|638)
(2.7|468)
Es sollte eine Punktewolke entstanden sein, die von links unten nach rechts oben ansteigt.
c) Zeichne nun nach Augenmaß eine Ausgleichsgerade durch die Punktewolke.
d) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Ausgleichsgeraden.
e) Jede Geradengleichung steht für eine lineare Funktion. Nur wenn die Gerade auch zusätzlich noch durch den Ursprung des Koordinatensystems (0|0) geht, ist es gleichzeitig auch eine proportionale Zuordnung. Geben die Messwerte in etwa eine proportionale Zuordnung wieder?
f) Formuliere den Zusammenhang von x- und y-Werten in eigenen Worten.
Für Astronomie-Interessierte: Die Daten stammen aus einer wissenschaftlichen Veröffentlichung über die Ergebnisse des Weltraumteleskops Spitzer. Der x-Wert steht für die Entfernung einer Galaxie von uns in Megaparsec. Der y-Wert steht für die Geschwindigkeit in Kilometern pro Sekunde, mit der sich die Galaxie von uns entfernt. Die Steigung der Geraden ist die sogenannte Hubble Konstante. Die Hubble Konstante spielt in Theorien über die Ausdehnung des Universums eine zentrale Rolle.
Quelle: Kennicutt et al.: "SINGS: The SIRTF Nearby Galaxies Survey". In: Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 115: 928–952, 2003 August
Lösungen
a und b) Die Punkte sollten in etwa vom Ursprung aus nach rechts oben ansteigen.
c) Die Ausgleichsgerade kann aus dem Ursprung (0|0) kommen oder etwas darüber die y-Achse schneiden. Dann führt sie nach rechts oben.
d) Eine mögliche Funktionsgleichung ist: y = 68x+70
e) Der funktionale Zusammenhang ist nicht strikt proportional, da die Ausgleichsgerade die y-Achse aber recht nahe am Ursprung schneidet, könnte man ihn näherungsweise proportional nennen.
f) Je nach Sichtweise wären verschiedene Formulierung möglich:
Der y-Wert ist immer ungefähr das 68fache des x-Wertes
Der y-Wert ist immer ungefähr das 70fache des x-Wertes (gerundet auf Zehner)
Der y-Wert ist immer in etwa 70 mehr als das 68fache des Wertes
In Verbindung mit den astronomischen Daten heißt das: Je weiter eine Galaxie von uns entfernt ist, desto schneller entfernt sie sich von uns. Für jeden Megaparsec an Entfernung kommen etwa 70 Kilometer pro Sekunde an Geschwindigkeit hinzu.