Geradengleichung aus zwei Punkten
Berechnen
Lösungsidee
y= 4x+2 ist eine typische Geradengleichung. Den allgemeinen Bauplan y = m·x+b nennt man die Normalform der Geradengleichung. Man spricht auch von einer linearen Funktion. Hier wird ausführlich in Worten erklärt, wie man aus zwei gegebenen Punkten, zum Beispiel (1|6) und (3|15) die Geradengleichung aufstellt, also die Funktionsgleichung für die lineare Funktion findet.
Sonderfall: Geradengleichungen 3D (Vektorrechnung)
Geradengleichungen gibt es auch für dreidimensionale Koordinatensysteme. Das ist hier aber nicht gemeint. In diesem Artikel hier geht es um Geraden in xy-Koordinatensystemen. Für Geraden in 3D-Koordinatensystemem mit x,y und z, siehe unter Parameterform der Geraden aus zwei Punkten ↗
Lösungsidee für lineare Funktionen (Geradengleichung)
Aus den zwei gegebenen Punkten (2|4) und (10|24) kann man immer eine Geradengleichung der Form y = m·x+b. Das m is die Steigung, das b ist der y-Achsenabschnitt. Zuerste berechnet man die Steigung m. Hat man für die Steigung einen Zahlenwert berechnet, setzt man diesen Zahlenwert zusammen mit einem der beiden Punkte in den Bauplan ein. Die einzige Unbekannte ist dann der y-Achsenabschnitt b. Diesen bestimmt man durch Umformen der Gleichung. Das ist jetzt Schritt-für-Schritt erklärt.
Die gegebenen Punkte interpretieren
- P(2|4) meint einen Punkt in einem Koordinatensystem.
- P ist der Name des Punktes, man sagt oft "Punkt P".
- Die Zahl links ist die x-Koordinate ↗
- Die Zahl rechts ist die y-Koordinate ↗
- Das | ist nur eine Trennzeichen ↗
Gegeben: zwei Punkte als Zahlenbeispiel
- Punkt P(2|4)
- Punkt Q(10|24)
Gesucht: y = mx + b
- Die Gleichung in Normalform: y = mx + b
- b ist der y-Achsenabschnitt ↗
- m ist die Steigung ↗
Schritt 1: Punktinformation aufschreiben
Wähle als ersten Punkt den mit dem kleineren x-Wert. Im Beispiel ist der x-Wert von (2|4) kleiner als der x-Wert von (10|24). Also nimmt man (2|4) als ersten Punkt.
- x-Wert vom ersten Punkt: X1=2
- y-Wert vom ersten Punkt: Y1=4
- x-Wert vom zweiten Punkt: X2=10
- y-Wert vom zweiten Punkt: Y2=24
Schritt 2: Steigung m berechnen
- m = (Y2-Y1) durch (X2-X1), kurz:
- m = (Y2-Y1)/(X2-X1)
- m = (24-4):(10-2)
- m = 20/8=2,5
Schritt 3: Steigung m in Normalform einsetzen:
- Normalform: y = m·x + b
- m einsetzen: y=2,5·x+b
Schritt 4: Punkt einsetzen
- Man wählt einen der zwei gegebenen Punkte aus.
- Es ist egal, welchen der Punkt man wählt.
- Den x- und y-Wert dann in die Gleichung einsetzen:
- Zum Beispiel Punkt P mit x=2 und y=4:
- 4=2,5·2+b
Schritt 5: umstellen nach b
- 4=2,5·2+b | vereinfachen
- 4=5+b | -5
- b=-1
Schritt 6: m und b in Normalform einsetzen
- Die Normalform ist y=mx+b
- Man lässt x und y jetzt als Variablen stehen, also als Buchstaben.
- Man setzt die oben gefundenen Zahlen für m und b ein:
- y = 2,5x - 1 ✔
Tipps
- Das x und y schreibt man am Ende immer als Variable.
- Statt y wird oft auch f(x) geschrieben.
- Siehe dazu auch y oder f(x) ↗
Beispiele
- (0|0) und (1|1) ⭢ y = 1x+0 ⭢ y = x
- (2|4) und (10|24) ⭢ y = 2,5x-1
- (0|-4) und (5|-14) ⭢ y = -2x-4
- (2|8) und (6|4) ⭢ y = -x+10