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Parameterform der Geraden aus zwei Punkten

Anleitung

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Basiswissen


Zwei Punkte in einem xyz-Koordinatensystem sind gegeben. Daraus soll eine Gleichung mit Stütz- und Richtungsvektor erstellt werden, also eine Geradengleichung in Parameterform. Das ist hier erklärt.

Ziel


  • x = Stützvektor + r mal Richtungsvektor

x-Vektor hinschreiben


  • Links vom Gleichzeichen schreibt man ein x.
  • Schreibe über das x noch einen kleinen Pfeil.
  • Das meint: das x soll ein Vektor sein.
  • Statt x findet man auch x,y und z übereinander als Vektor geschrieben.
  • Beides ist üblich und korrekt.

Stützvektor berechnen


  • Man wählt einen der beiden Punkte als Stützpunkt.
  • Welchen der zwei Punkte man wählt ist dabei egal.
  • Man wählt irgendeinen der zwei bekannten Punkte der Geraden.
  • Diesen nimmt man als Stützvektor. Schreibe die Zahlen übereinander.
  • Schreibe rechts hinter den Stützvektor ein Pluszeichen: +

Parameter r hinschreiben


  • Nach dem + kommt der sogenannte Parameter.
  • Dies ist einfach nur ein Buchstabe (keine Zahl).
  • Üblich sind ein kleines r, t, s oder auch λ, μ oder σ.
  • Man kann - muss aber nicht - dahinter ein Malzeichen setzen.

Richtungsvektor berechnen


  • Schreibe hinter den Parameter eine leere hohe runde Klammer für den Stützvektor.
  • Wir betrachten wieder den Stützvektor und den Vektor zu dem anderen Punkt.
  • Rechne: Vektor des anderen Punktes minus den Vektor zum Stützpunkt.
  • Das Ergebnis ist dann der gesuchte Richtungsvektor.
  • Die Koordinaten des Stützvektors kommen jetzt senkrecht übereinander geschrieben in die leere Klammer.

Beispiele


  • Man hat die Punkte P(10|8|6) und Q(4|3|1)
  • x = (10|8|6) + r (6|5|5)

===== Fußnoten
  • [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort werden auf Seite 105 bis Seite 108 zwei Varianten der Parameterform vorgestellt, die "Punkt-Richtungs-Form einer Geraden" (entspricht der Beschreibung in diesem Artikel) und die "Zwei-Punkte-Form einer Geraden". Bei dieser Variante wird der Richtungsvektor als Differenz der Ortsvektoren der zwei gegebenen Punkte einer Geraden ausgeschrieben. Siehe auch Der Papula ↗