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Parameterform der Geraden

Vektorrechnung

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Basiswissen · Die Schreibweise für die Parameterform der Geraden · g: Geradenname · x: der Ziel-Ortsvektor · p: der Stützvektor · r: der Laufparameter · u: Richtungsvektor · Berechnung der Parameterform · Anschaulich Deutung der Parameterform · Typische Rechnungen mit der Gleichung · Fußnoten


Basiswissen


x=p+r·u ist die Kurzversion. Sie bedeutet: ein Ortsvektor zu eine beliebigen Punkt auf der Geraden = Stützvektor + r mal Richtungsvektor. Dies ist eine Art, Geraden in einem 2D sowie vor allem auch in einem 3D-Koordinatensystem anzugeben. Die Parameterform der Geraden spielt eine wichtige Rolle in der sogenannten Vektorrechnung (lineare Algebra, analytische Geometrie). Hier wird erklärt, was diese Form einer Geradengleichung anschaulich darstellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht einen braunen Schaschlikstab, beschriftet mit g.☛


Die Schreibweise für die Parameterform der Geraden


  • g: x = p + r·u

g: Geradenname


  • Man gibt den Geraden meistens einen Buchstaben als Namen.
  • Üblich sind zum Beispiel g, h, l oder m.
  • Man schreibt den Namen ganz links.

x: der Ziel-Ortsvektor


  • Nach dem Namen mit Doppelpunkt kommt ein variabler Vektor (x y z).
  • x, y und z heißen Komponenten des Vektors und stehen übereinander.
  • x, y und z werden als Buchtstaben geschrieben, nicht als Zahlen.
  • Er spielt in etwa die Rolle wie ein y bei einer Geradengleichung.
  • Das meint einen Vektor vom Ursprung irgendwohin auf die Gerade.
  • Die Spitze zeigt auf den Punkt der Geraden, auf den man kommt, …
  • wenn man erst vom Koordinatenursprung auf die Gerade geht, …
  • und dann r mal den Richtungsvektor auf der Geraden geht.
  • Üblich ist auch ein x mit einem Pfeil darüber.
  • Danach kommt ein Gleichzeichen.

p: der Stützvektor


  • Das ist ein fester Ortsvektor p vom Ursprung zu einem festen Punkt auf der Geraden.
  • Dieser feste Punkt auf der Geraden heißt Stützpunkt P.
  • Wo genau auf der Geraden der feste Punkt, das ist egal.
  • Der Stützvektor p wird aber normalerweise mit Zahlen geschrieben.
  • Nach dem Stützvektor kommt ein Pluszeichen.

r: der Laufparameter


  • Nach dem Pluszeichen kommt der Laufparameter.
  • Der Parameter ist oft ein Buchstabe wie r, s oder t.
  • Er sagt, welches Vielfache vom Richtungsvektor man vom Stütztpunkt aus gehen soll.
  • Statt r, s oder sind auch üblich: λ (lambda), μ (my) oder σ (sigma).

u: Richtungsvektor


  • Ist irgendein Vektor u parallel zu der Geraden.
  • Wie lang der Richtungsvektor ist, ist dabei nicht wichtig.
  • Der Richtungsvektor wird mit festen Zahlen geschrieben.

Berechnung der Parameterform


  • Oft hat man zwei Punkte gegeben.
  • Daraus kann man immer eine Geradengleichung bestimmen.

Anschaulich Deutung der Parameterform


  • Eine mehr anschauliche Erklärung steht in einem eigenen Artikel.

Typische Rechnungen mit der Gleichung



Fußnoten


  • [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort werden auf Seite 105 bis Seite 108 zwei Varianten der Parameterform vorgestellt, die "Punkt-Richtungs-Form einer Geraden" (entspricht der Beschreibung in diesem Artikel) und die "Zwei-Punkte-Form einer Geraden". Bei dieser Variante wird der Richtungsvektor als Differenz der Ortsvektoren der zwei gegebenen Punkte einer Geraden ausgeschrieben. Siehe auch Der Papula ↗