Parameterform der Geraden
Vektorrechnung
Basiswissen
x=p+r·u ist die Kurzversion. Sie bedeutet: ein Ortsvektor zu eine beliebigen Punkt auf der Geraden = Stützvektor + r mal Richtungsvektor. Dies ist eine Art, Geraden in einem 2D sowie vor allem auch in einem 3D-Koordinatensystem anzugeben. Die Parameterform der Geraden spielt eine wichtige Rolle in der sogenannten Vektorrechnung (lineare Algebra, analytische Geometrie). Hier wird erklärt, was diese Form einer Geradengleichung anschaulich darstellt.
Die Schreibweise für die Parameterform der Geraden
- g: x = p + r·u
g: Geradenname
- Man gibt den Geraden meistens einen Buchstaben als Namen.
- Üblich sind zum Beispiel g, h, l oder m.
- Man schreibt den Namen ganz links.
- Dahinter kommt ein Doppelpunkt ↗
x: der Ziel-Ortsvektor
- Nach dem Namen mit Doppelpunkt kommt ein variabler Vektor (x y z).
- x, y und z heißen Komponenten des Vektors und stehen übereinander.
- x, y und z werden als Buchtstaben geschrieben, nicht als Zahlen.
- Er spielt in etwa die Rolle wie ein y bei einer Geradengleichung.
- Das meint einen Vektor vom Ursprung irgendwohin auf die Gerade.
- Üblich ist auch ein x mit einem Pfeil darüber.
- Danach kommt ein Gleichzeichen.
- Siehe auch Ortsvektor ↗
p: der Stützvektor
- Das ist ein fester Ortsvektor p vom Ursprung zu einem festen Punkt auf der Geraden.
- Dieser feste Punkt auf der Geraden heißt Stützpunkt P.
- Wo genau auf der Geraden der feste Punkt, das ist egal.
- Der Stützvektor p wird aber normalerweise mit Zahlen geschrieben.
- Nach dem Stützvektor kommt ein Pluszeichen.
- Siehe auch Stützvektor ↗
r: der Laufparameter
- Nach dem Pluszeichen kommt der Laufparameter.
- Der Parameter ist oft ein Buchstabe wie r, s oder t.
- Er sagt, welches Vielfache vom Richtungsvektor man vom Stütztpunkt aus gehen soll.
- Statt r, s oder sind auch üblich: λ (lambda), μ (my) oder σ (sigma).
- Siehe auch Laufparameter ↗
u: Richtungsvektor
- Ist irgendein Vektor u parallel zu der Geraden.
- Wie lang der Richtungsvektor ist, ist dabei nicht wichtig.
- Der Richtungsvektor wird mit festen Zahlen geschrieben.
- Siehe auch Richtungsvektor ↗
Berechnung der Parameterform
- Oft hat man zwei Punkte gegeben.
- Daraus kann man immer eine Geradengleichung bestimmen.
- Siehe unter Parameterform der Geraden aus zwei Punkten ↗
Anschaulich Deutung der Parameterform
- Eine mehr anschauliche Erklärung steht in einem eigenen Artikel.
- Siehe unter Parameterform der Geraden anschaulich => qck ↗
Typische Rechnungen mit der Gleichung
- Gleichung aufstellen Parameterform der Geraden aus zwei Punkten ↗
- Gleichung aufstellen Parameterform der Geraden aus Punkt und Richtung ↗
- Punkt erzeugen Punkt aus Parameterform der Geraden ↗
Fußnoten
- [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort werden auf Seite 105 bis Seite 108 zwei Varianten der Parameterform vorgestellt, die "Punkt-Richtungs-Form einer Geraden" (entspricht der Beschreibung in diesem Artikel) und die "Zwei-Punkte-Form einer Geraden". Bei dieser Variante wird der Richtungsvektor als Differenz der Ortsvektoren der zwei gegebenen Punkte einer Geraden ausgeschrieben. Siehe auch Der Papula ↗
