Basiswissen

Inhalt

• Im Folgenden kommen Übungen zum 3D-Denken mit 3D-Geraden.
  

• Ziel ist es, aus einer Gleichung schnell ein 3D-Bild zu erhalten.
  

• Es geht weniger um die mathematische Formulierung.
  

• Diese steht unter Parameterform der Geraden ↗
  

Ursprung

• Man stelle sich ein 3D-Koordinatensystem vor.
  

• Es gibt verschiedene räumliche Möglichkeiten dazu.
  

• Auch die Benennung der Achsen wird unterschiedlich gehandhabt.
  

• Am besten wählt man eine feste Art und behält diese zunächst bei.
  

• Man strecke gedanklich den linken Arm gerade nach vorne aus.
  

• Man strecke den Zeigefinger dabei in Verlängerung des Armes aus.
  

• Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas unterhalb der Augenhöhe.
  

• Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas nach links versetzt.
  

• Dieser Punkt soll der Koordinatenursprung (0|0|0) sein.
  

• Siehe auch Koordinatenursprung ↗
  

x-Achse

• Die Achse führt vom Ursprung auf das linke Auge zu.
  

• Die x-Werte werden von der Fingerspitze zum Auge hin größer.
  

• Als Skalierung stellt man sich die 1 als einen Zentimeter vor.
  

• Der x-Wert 30 wäre dann rund 30 cm vom Ursprung in Richtung des Auges.
  

• Die Achse führt in gerader Verlängerung auch nach hinten weg.
  

• Dabei gehen vom Ursprung aus gesehen die x-Wert ins Negative.
  

• Der x-Wert -5 wäre dann etwa 5 cm jenseits des Ursprungs (weg vom Betrachter).
  

• Siehe auch x1-Achse ↗
  

y-Achse

• Die y-Achse geht von links nach rechts durch den Ursprung.
  

• Die x-Werte werden von links nach rechts größer.
  

• Links vom Ursprung liegen die negativen y-Werte.
  

• Rechts vom Ursprung liegen die positiven y-Werte.
  

• Eine 1 soll wie bei der x-Achse einem Zentimeter entsprechen.
  

• Der y-Wert 40 wäre also 40 cm rechts vom Ursprung.
  

• Der y-Wert -2 wären 2 cm links vom Ursprung.
  

• Siehe auch x2-Achse ↗
  

z-Achse

• Die z-Achse geht von unten nach oben durch den Ursprung.
  

• Die z-Werte werden von unten nach oben größer.
  

• Unterhalb des Ursprungs liegen die negativen Werten.
  

• Oberhalb des Ursprungs liegen die positiven Werte.
  

• Eine 1 soll wie bei der x- und y-Achse einem Zentimeter entsprechen.
  

• Ein z-Wert von 10 wäre dann 10 cm oberhalb des Ursprungs.
  

• Ein z-Wert von -9 wäre dann 9 cm unterhalb des Ursprungs.
  

• Siehe auch x3-Achse ↗
  

Stützpunkt

• Nun beginnt die Visualisierung der 3D-Geradengleichung.
  

• Der erste Teil der 3D-Geradengleichung ist der Stützvektor.
  

• Gehe am Anfang gedanklich immer in den Koordinatenursprung.
  

• Angenommen der Stützvektor sei gegeben als:(10|20|30)
  

• Dann legt man das hintere Ende des Vektors auf (0|0|0).
  

• Die Spitze des Vektors liegt dann im Punkt (10|20|30).
  

• So führt der Stützvektor immer zum sogenanten Stützpunkt.
  

• Diesen stellt man sich im 3D-Koordinatensystem dann mit seiner Lage vor.
  

• (10|20|30) liegt von Betrachter aus gesehen wie folgt:
  

• 10 cm vom Ursprung auf das linke Auge des Betrachters.
  

• 20 cm nach rechts verschoben und 30 cm nach oben.
  

• Man stelle sich diesen Stützpunkt bildlich vor.
  

• Siehe auch Stützpunkt ↗
  

Richtungsvektor

• Als nächstes ist in der Geradengleichung immer ein Richtungsvektor gegeben.
  

• Man stelle sich diesen als Pfeil mit hinterem Ende und vorderer Spitze vor.
  

• Das hintere Ende legt man gedanklich genau in den Stützpunkt.
  

• Angenommen man hätte jetzt den Richtungsvektor (0|2|0).
  

• Das ist visualisiert ein Pfeil, der 2 cm von links nach rechts geht.
  

• Gehe gedanklich in den Stützpunkt und von dort aus den Pfeil weiter.
  

• Man geht vom Stützpunkt (10|20|30) also 2 Schritte:
  

• 0 Schritte (also gar nicht) in x-Richtung.
  

• 2 Schritte (also 2 cm) in y-Richtung, also nach rechts.
  

• 0 Schritte (also gar nicht) in z-Richtung.
  

• Man ist dann am Punkt (10|22|30).
  

• Siehe auch Richtungsvektor ↗
  

Zwischenstand

• Bisher wurde vom Ursprung aus gesehen ein Stützpunkt gelegt.
  

• Von diesem Stützpunkt aus führte der Richtungsvektor zu einem weiteren Punkt.
  

• Durch zwei Punkte ist eindeutig bereits eine Gerade festgelegt:
  

• Es gibt nur eine möglich Gerade durch genau diese zwei Punkte.
  

• Damit hat man bereits die Gerade im 3D-Raum eindeutig festgelegt.
  

Parameter

• Stützpunkt und Stützvektor definieren also eindeutig eine 3D-Gerade.
  

• Man kann mit ihnen aber darüberhinaus auch beliebige Punkte auf der Geraden ansteuern.
  

• Man geht dazu gedanklich vom Ursprung aus wieder auf den Stützpunkt.
  

• Dann geht man vom Stützpunkt aus ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors.
  

• Beispiel: Man geht auf den Stützpunkt (10|20|30).
  

• Der Richtungsvektor sei wieder (0|2|0).
  

• Man gehe vom Stütztpunkt aus 3 mal den Richtungsvektor.
  

• Man geht also 3 mal 2 cm weiter nach rechts.
  

• Man kommt damit zum Punkt (10|26|30).
  

• Wie oft man den Richtungsvektor vom Stützpunkt aus geht nennt man kurz r.
  

• r ist der Parameter der Geradengleichung, daher der Name.
  

• Ist r eine negative Zahl, geht man den Richtungsvektor in seine entgegengesetzte Richtung.
  

• Beispiel: Sützpunkt bei (10|20|30) und r sei -10.
  

• Dann geht man von (10|20|30) genau 10 mal den Vektor (0|2|0) nach links.
  

• Man kommt dann zum Punkt (10|-10|30).
  

• Siehe auch Parameter ↗
  

Fazit

• Es wurde gezeigt, wie man Stützpunkt, Richtungsvektor und Parameter visualisieren kann.
  

• Durch die Veränderung des Parameterwertes r kann man beliebige Punkt der Geraden ansteuern.
  

• Mit dieser Denkweise lassen sich viele Fragestellungen schnell bearbeiten.
  

• Siehe auch anschaulich rechnen ↗
  

Aufgaben dazu