Parameterform der Geraden anschaulich
Dreidimensional
Basiswissen
Hier steht eine Anleitung, wie man ein anschauliches dreidimensionales Bild einer Geraden machen kann, wenn sie in Parameterform gegeben ist. Ein solches Bild im Kopf hilft oft sehr bei der Lösung von Textaufgaben der Vektorrechnung.
Inhalt
◦ Im Folgenden kommen Übungen zum 3D-Denken mit 3D-Geraden.
◦ Ziel ist es, aus einer Gleichung schnell ein 3D-Bild zu erhalten.
◦ Es geht weniger um die mathematische Formulierung.
◦ Diese steht unter => Parameterform der Geraden
Ursprung
◦ Man stelle sich ein 3D-Koordinatensystem vor.
◦ Es gibt verschiedene räumliche Möglichkeiten dazu.
◦ Auch die Benennung der Achsen wird unterschiedlich gehandhabt.
◦ Am besten wählt man eine feste Art und behält diese zunächst bei.
◦ Man strecke gedanklich den linken Arm gerade nach vorne aus.
◦ Man strecke den Zeigefinger dabei in Verlängerung des Armes aus.
◦ Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas unterhalb der Augenhöhe.
◦ Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas nach links versetzt.
◦ Dieser Punkt soll der Koordinatenursprung (0|0|0) sein.
◦ Siehe auch => Koordinatenursprung
x-Achse
◦ Die Achse führt vom Ursprung auf das linke Auge zu.
◦ Die x-Werte werden von der Fingerspitze zum Auge hin größer.
◦ Als Skalierung stellt man sich die 1 als einen Zentimeter vor.
◦ Der x-Wert 30 wäre dann rund 30 cm vom Ursprung in Richtung des Auges.
◦ Die Achse führt in gerader Verlängerung auch nach hinten weg.
◦ Dabei gehen vom Ursprung aus gesehen die x-Wert ins Negative.
◦ Der x-Wert -5 wäre dann etwa 5 cm jenseits des Ursprungs (weg vom Betrachter).
◦ Siehe auch => x1-Achse
y-Achse
◦ Die y-Achse geht von links nach rechts durch den Ursprung.
◦ Die x-Werte werden von links nach rechts größer.
◦ Links vom Ursprung liegen die negativen y-Werte.
◦ Rechts vom Ursprung liegen die positiven y-Werte.
◦ Eine 1 soll wie bei der x-Achse einem Zentimeter entsprechen.
◦ Der y-Wert 40 wäre also 40 cm rechts vom Ursprung.
◦ Der y-Wert -2 wären 2 cm links vom Ursprung.
◦ Siehe auch => x2-Achse
z-Achse
◦ Die z-Achse geht von unten nach oben durch den Ursprung.
◦ Die z-Werte werden von unten nach oben größer.
◦ Unterhalb des Ursprungs liegen die negativen Werten.
◦ Oberhalb des Ursprungs liegen die positiven Werte.
◦ Eine 1 soll wie bei der x- und y-Achse einem Zentimeter entsprechen.
◦ Ein z-Wert von 10 wäre dann 10 cm oberhalb des Ursprungs.
◦ Ein z-Wert von -9 wäre dann 9 cm unterhalb des Ursprungs.
◦ Siehe auch => x3-Achse
Stützpunkt
◦ Nun beginnt die Visualisierung der 3D-Geradengleichung.
◦ Der erste Teil der 3D-Geradengleichung ist der Stützvektor.
◦ Gehe am Anfang gedanklich immer in den Koordinatenursprung.
◦ Angenommen der Stützvektor sei gegeben als:(10|20|30)
◦ Dann legt man das hintere Ende des Vektors auf (0|0|0).
◦ Die Spitze des Vektors liegt dann im Punkt (10|20|30).
◦ So führt der Stützvektor immer zum sogenanten Stützpunkt.
◦ Diesen stellt man sich im 3D-Koordinatensystem dann mit seiner Lage vor.
◦ (10|20|30) liegt von Betrachter aus gesehen wie folgt:
◦ 10 cm vom Ursprung auf das linke Auge des Betrachters.
◦ 20 cm nach rechts verschoben und 30 cm nach oben.
◦ Man stelle sich diesen Stützpunkt bildlich vor.
◦ Siehe auch => Stützpunkt
Richtungsvektor
◦ Als nächstes ist in der Geradengleichung immer ein Richtungsvektor gegeben.
◦ Man stelle sich diesen als Pfeil mit hinterem Ende und vorderer Spitze vor.
◦ Das hintere Ende legt man gedanklich genau in den Stützpunkt.
◦ Angenommen man hätte jetzt den Richtungsvektor (0|2|0).
◦ Das ist visualisiert ein Pfeil, der 2 cm von links nach rechts geht.
◦ Gehe gedanklich in den Stützpunkt und von dort aus den Pfeil weiter.
◦ Man geht vom Stützpunkt (10|20|30) also 2 Schritte:
◦ 0 Schritte (also gar nicht) in x-Richtung.
◦ 2 Schritte (also 2 cm) in y-Richtung, also nach rechts.
◦ 0 Schritte (also gar nicht) in z-Richtung.
◦ Man ist dann am Punkt (10|22|30).
◦ Siehe auch => Richtungsvektor
Zwischenstand
◦ Bisher wurde vom Ursprung aus gesehen ein Stützpunkt gelegt.
◦ Von diesem Stützpunkt aus führte der Richtungsvektor zu einem weiteren Punkt.
◦ Durch zwei Punkte ist eindeutig bereits eine Gerade festgelegt:
◦ Es gibt nur eine möglich Gerade durch genau diese zwei Punkte.
◦ Damit hat man bereits die Gerade im 3D-Raum eindeutig festgelegt.
Parameter
◦ Stützpunkt und Stützvektor definieren also eindeutig eine 3D-Gerade.
◦ Man kann mit ihnen aber darüberhinaus auch beliebige Punkte auf der Geraden ansteuern.
◦ Man geht dazu gedanklich vom Ursprung aus wieder auf den Stützpunkt.
◦ Dann geht man vom Stützpunkt aus ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors.
◦ Beispiel: Man geht auf den Stützpunkt (10|20|30).
◦ Der Richtungsvektor sei wieder (0|2|0).
◦ Man gehe vom Stütztpunkt aus 3 mal den Richtungsvektor.
◦ Man geht also 3 mal 2 cm weiter nach rechts.
◦ Man kommt damit zum Punkt (10|26|30).
◦ Wie oft man den Richtungsvektor vom Stützpunkt aus geht nennt man kurz r.
◦ r ist der Parameter der Geradengleichung, daher der Name.
◦ Ist r eine negative Zahl, geht man den Richtungsvektor in seine entgegengesetzte Richtung.
◦ Beispiel: Sützpunkt bei (10|20|30) und r sei -10.
◦ Dann geht man von (10|20|30) genau 10 mal den Vektor (0|2|0) nach links.
◦ Man kommt dann zum Punkt (10|-10|30).
◦ Siehe auch => Parameter
Fazit
◦ Es wurde gezeigt, wie man Stützpunkt, Richtungsvektor und Parameter visualisieren kann.
◦ Durch die Veränderung des Parameterwertes r kann man beliebige Punkt der Geraden ansteuern.
◦ Mit dieser Denkweise lassen sich viele Fragestellungen schnell bearbeiten.
◦ Siehe auch => anschaulich rechnen
Aufgaben dazu
Einige Aufgaben, die man durch anschauliches Rechnen ganz im Kopf lösen kann, sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Gehe direkt zu den Aufgaben über => qck