Punktsteigungsform der Geradengleichung
Kann man direkt aus Punkt und Steigung erstellen
Basiswissen
y = m(x-X1)+Y1 oder y-Y1 = m(x-X1) nennt man die Punktsteigungsform oder auch die Verschiebungsform. Man kann sie ohne Rechnung direkt aus einem gegebenen Punkt und der bekannten Steigung erstellen. Man muss dazu nicht rechnen. Das ist ihr Vorteil.
Definition
- Eine Geradengleichung kann man in verschiedenen Formen darstellen.
- Die Punkt-Steigungs-Form ist eine von ihnen, aber eher selten gebraucht.
- Man kann sie sofort hinschreiben, wenn man einen Punkt und die Steigung kennt.
- Es gibt verschiedene Schreibweisen.
- Sie meinen alle dasselbe:
Formeln
- y = m(x-X1)+Y1
- y-Y1 = m(x-X1)
Legende
- y ist der Funktionswert, kann auch als f(x) geschrieben werden.
- y muss nicht eingesetzt werden, y bleibt als Buchstabe stehen.
- x ist das sogenannte Funktionsargument, man setzt dafür nichts ein.
- x bleibt wie das y als Buchstabe in der Gleichung stehen.
- X1 ist der x-Wert des gegebenen Punktes: man setzt ihn ein
- Y1 ist der y-Wert des gegebenen Punktes: man setzt ihn ein
- m ist die Steigung: man setzt sie als Zahlenwert ein
Beispiel für die Punktsteigungsform
- Eine Gerade habe die Steigung 2 und gehe durch P(3|1).
- Allgemeiner Bauplan: y = m(x-X1)+Y1
- Einsetzen in den Bauplan: y = 2(x-3)+1
- Vereinfachen: y = 2x-6+1 = 2x-5 ✓
Umwandlung in die Normalform y=mx+b
Geradengleichungen kann man in verschiedenen sogenannten Formen darstellen. Die Punktsteigungsform ist eine von vielen Möglichkeiten. Sehr oft stellt man Geraden in der sogenannten Normalform y=mx+b oder y=ax+n dar. Man kann die Zwei-Punkte-Form immer in die Normalform umwandeln. Dazu löst man die Klammer auf und stellt dann die rechte Seie der Gleichung passend um. Aus der Punktsteigungsform y=2(x-3)+1 wird dann die Normalform y=2x-5. Siehe auch => Punktsteigungsform in Normalform [umwandeln]
Was ist der Unterschied zur Verschiebungsform?
Die Punktsteigungsform y=m(x-X1)+Y1 und die Verschiebungsform y=m(x-r)+s unterscheiden sich lediglich in den verwendeten Buchstaben. Einmal schreibt man X1 und Y1 und einmal r und s. Von allen Zahlenrechnungen her ergeben die beiden Formen immer auch dieselben Rechenergebnisse. Bei der Punktsteigungsform jedoch deutet man X1 und Y1 als Koordinaten eines Punktes auf der Geraden. Bei der Verschiebungsform deutete man r und s als nacheinander durchgeführt Verschiebungen einer Ursprungsgeraden. Das ist näher erklärt auf der Seite zur => Verschiebungsform der Geradengleichung
