Parallele Geraden


Definitionen


Basiswissen


Geraden sind unendlich lange gedachte Linien. Sie sind genau dann parallel, wenn sie immer und überall denselben Abstand zueinander haben. Die Schienen einer Eisenbahn sind ein typisches Beispiel dafür.

Was meint parallel bei Geraden anschaulich?


◦ Eine Gerade ist eine unendlich lang gedachte Strecke.
◦ Parallel meint, das zwei Geraden immer denselben Abstand zueinander haben.
◦ Das heißt: egal wo man sich auf einer der beiden Geraden befindet, ...
◦ die kürzeste Strecke zu der anderen Geraden ist immer gleich lang.
◦ Auch zwei identische Geraden würde man parallel zueinander nennen.

Parallele Geraden nach Euklid


Der antike Mathematiker Euklid definierte parallele Geraden wie folgt: Zwei Geraden sind zueinander parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und keine Schnittpunktpunkt haben. Aus dieser Definition folgt, dass zwei identische Geraden zueinander nicht parallel sind. Man nennt solche parallelen nach Euklid auch echt parallele Geraden. Heute gelten auch identische Geraden als parallel zueinander. Um das deutlich zu machen spricht man am besten von parallelen und identischen Geraden.

Echt parallele Geraden


Zwei Geraden nennt man echt parallel zueinander, wenn sie a) in einer gemeinsamen Ebene liegen und b) keinen einzigen Schnittpunkt miteinander haben. Anschaulich heißt dass, dass es zwischen den Geraden einen Abstand gibt der größe ist als Null.

Parallel und identische Geraden


Zwei Geraden heißen parallel und identisch, wenn sie unendlich viele Schnittpunkte haben. Sie liegen damit sozusagen direkt aufeinander und haben überall den Abstand Null.

Parallele Geraden bei linearen Funktionen (2D)


◦ Lineare Funktionen haben eine Funktionsgleichung wie z. B. f(x)=4x+3.
◦ Den Funktionsgraphen zeichnet man in ein 2D-Koordinatensystem.
◦ Der Graph einer linearen Funktion ist dann immer eine Gerade.
◦ Hat man zwei Geraden, kann man überprüfen, ob diese parallel zueinander sind.
◦ Am Graphen sieht man das sehr leicht (graphische Überprüfung).
◦ Auch an den Funktionsgleichungen kann man es leicht überprüfen.
◦ Man bringt beide Gleichung in die Normalform f(x)=mx+b.
◦ Sind die Zahlenwert für m gleich, dann sind die Geraden parallel zueinander.
◦ Das m ist die Steigung: Geraden mit gleicher Steigung sind parallel.
◦ Beispiel: f(x)=4x+3 und g(x)=4x+5 sind parallel.
◦ Nicht parallel wären: f(x)=4x+3 und g(x)=2x+3.
◦ Mehr unter => Lineare Funktion

Parallele Geraden in der Vektorrechnung (3D)


◦ Geraden können auch im 3D-Raum parallel zueinander sein.
◦ Ihre Richtungsvektoren sind dann immer kollinear.
◦ Kollinear meint: ein Vektor mal Zahl gibt anderen Vektor.
◦ Mehr unter => Kollineare Vektoren

x-Achsenparallele Gerade


◦ In einem xy-Koordinatensystem:
◦ Die Gerade würde waagrecht von links nach rechts verlaufen.
◦ Sie ist der Graph einer konstanten Funktion, z. B. von f(x)=4.
◦ Lies mehr unter => waagrechte Gerade

y-Achsenparallele Gerade


◦ In einem xy-Koordinatensystem:
◦ Die Gerade würde senkrecht von unten nach oben verlaufen.
◦ Es gibt keine Funktion für diesen Graphen aber eine Gleichung, z. B.: x=4
◦ Lies mehr unter => senkrechte Gerade