Kollineare Vektoren

Vektorrechnung

Definition｜ Kollineare Vektoren als parallele Vektoren｜ Kollineare Vektoren als gemeinsam auf einer Geraden｜ Einige Sonderfälle kollinearer Vektoren｜ Beispiele für kollineare Vektoren｜ Die formale Definition kollinearer Vektoren｜ Kollinearität rechnerisch überprüfen über Gleichungen｜ Kollinearität rechnerisch überprüfen über Vektorprodukt｜ Wie findet man kollineare Vektoren?｜ Eigenschaften kollinearer Vektoren｜ Gegenvektoren sind immer kollinear｜ Lagen von Geraden und Kollinearität｜ Parallelität und Kollinearität im Vergleich｜ Können nur Vektoren kollinear sein?｜ Fußnoten

Definition

Man nennt zwei Vektoren kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ihre Länge und wo sie in einem Koordinatensystem liegen sind dabei unwichtig. Die Vektoren dürfen - müssen aber nicht - unterschiedlich lang sein. Die Pfeile dürfen auch in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man bezeichnet sie dann sowohl als kollinear als auch als antiparallel. Das ist hier näher erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man nennt zwei Vektoren kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ihre Länge und wo sie in einem Koordinatensystem liegen sind dabei unwichtig. Die Vektoren dürfen müssen aber nicht - unterschiedlich lang sein. Die Pfeile dürfen auch in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man bezeichnet sie dann sowohl als kollinear als auch als antiparallel. Das ist hier näher erklärt. © ☛

Kollineare Vektoren als parallele Vektoren

Wenn zwei oder mehr Vektoren als Pfeile gedacht parallel zueinander sind, dann sind sie immer auch kollinear zueinander. Dabe dürfen die Spitzen der Pfeile in entgegengesetzte oder auch in dieselbe Richtung zeigen. Die Richtung der Pfeile spielt keine Rolle. Die Vektoren dürfen auch beide gleich lang sein, müssen es aber nicht. Siehe auch 👉 Parallelität

Kollineare Vektoren als gemeinsam auf einer Geraden

Kann man zwei oder mehr Vektoren so verschieben, ohne sie dabei zu drehen, dass sie am Ende gemeinsam auf ein und derselben Geraden liegen, dann nennt man sie kollinear. Diese Deutung der Kollinearität passt gut zu der Definition kollinearer Punkte: Punkte sind dann kollinear zueinander, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Mehr unter 👉 kollineare Punkte [analog zu kollinearen Pfeilen]

Einige Sonderfälle kollinearer Vektoren

Pfeile zeigen in dieselbe Richtung, die Länge ist, sie haben dieselbe 👉 Vektororientierung

Pfeile zeigen in dieselbe Richtung, die Länge ist gleich, die Vektoren sind 👉 identisch

Pfeile sind entgegengesetzt, die Länge ist egal  [1]. Antiparallele Vektoren sind ein Sonderfall kollinearer Vektoren. Das ist hier kurz erklärt.">👉 antiparallele Vektoren

Pfeile sind entgegengesetzt und gleich lang  [1]">👉 Gegenvektoren

Beispiele für kollineare Vektoren

Die Vektoren (1|1|1) und (4|4|4) sind kollinear ✔

Die Vektoren (1|1|1) und (-4|-4|-4) sind kollinear ✔

Die Vektoren (2|4|6) und (4|8|12) sind kollinear ✔

Die Vektoren (2|4|6) und (-4|-8|-12) sind kollinear ✔

Die formale Definition kollinearer Vektoren

Man hat zwei Vektoren gegeben: a und b

Beispiel: Vektor a (2|4|8) und Vektor b (3|6|12)

Wenn man den einen Vektor so mit einer Zahl multiplzieren kann,

dass dabei der andere Vektor herauskommt, dann sind die beiden Vektoren kollinear.

Im Beispiel oben kann man 1,5·a rechnen und erhält genau b.

Die Vektoren a und b im Beispiel sind also kollinear.

Siehe auch 👉 Zahl mal Vektor

Kollinearität rechnerisch überprüfen über Gleichungen

Man nimmt einen der zwei Vektoren.

Man sucht eine Zahl, mit der Folgendes geht:

x-Koordinate des ersten Vektors mal gesuchte Zahl = x-Koordinate des zweiten Vektors

y-Koordinate des ersten Vektors mal gesuchte Zahl = y-Koordinate des zweiten Vektors

z-Koordinate des ersten Vektors mal gesuchte Zahl = z-Koordinate des zweiten Vektors

Die gesuchte Zahl muss für alle drei Koordinaten gleich sein.

Die gesuchte Zahl darf jedoch nicht die Zahl Null sein.

Gibt es so eine Zahl, dann sind die Vektoren kollinear.

Gibt es keine solche Zahl, sind sie nicht kollinear.

Siehe auch 👉 kollineare Vektoren erkennen

Kollinearität rechnerisch überprüfen über Vektorprodukt

Man hat zwei Vektoren und berechnet ihr  [1] oder äußeres Produkt^[2] genannt, hat seinen Namen daher, da es bei der Multiplikation von zwei Vektoren als Ergebnis einen Vektor liefert. Das ist hier kurz erklärt.">👉 Vektorprodukt

Ein anderes Wort für Vektorprodukt ist  [3] oder äußeres Produkt^[4] genannt, multipliziert zwei Vektoren so, dass als Ergebnis ein dritter Vektor entsteht. Als Multiplikationszeichen wird nur ein kleines Kreuz verwendet, daher der Name. ">👉 Kreuzprodukt

Ist das Ergebnis der Nullvektor, sind die zwei Vektoren kollinear.^[1]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;"> ^[1]

Den Vektor (0 0 0) bezeichnet man als 👉 Nullvektor

Wie findet man kollineare Vektoren?

Beispiel: Zum Vektor (2|3|4) findet man über Multiplikation mit 2 den dazu kollinearen Vektor (4|6|8).

Allgmemein: Hat man einen Vektor gegeben, kann man dazu unendlich viele kollineare Vektoren bestimmen.

Die einfachste Möglichkeit: man multipliziert den gegebenen Vektor mit irgendeiner Zahl (außer 0).

Ist die Zahl positiv, etwa 2, zeigen die Pfeile der beiden Vektoren in dieselbe Richtung.

Ist die Zahl negativ, etwa -2, zeigen die Pfeile in entgegengesetzte Richtungen.

Ist der Betrag größer 1 (z. B. 2 oder auch -1,1), dann wird der neue Vektor länger als der gegeben.

Ist der Betrag kleiner 1 (z. B. 0,9 oder auch -0,1), dann wird der neue Vektor kürzer als der gegeben.

Zur eigentlichen Rechnung siehe auch 👉 Zahl mal Vektor

Eigenschaften kollinearer Vektoren

Kollineare Vektoren sind immer voneinander 👉 linear abhängig

Kollineare Vektoren können echt parallel oder antiparallel zueinander sein.

Siehe auch 👉 echt parallel

Siehe auch 👉 antiparallel

Gegenvektoren sind immer kollinear

Ein Vektor und sein Gegenvektor sind immer kollinear zueinander:

Kollinieare Vektoren die gleich lang sind aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen heißen Gegenvektoren.

Der Vektor (2|3|4) und (-2|-3|-4) sind Gegenvektoren.

Sie unterscheiden sich nur in ihrer Orientierung.

Anschaulich: die Pfeilspitzen zeigen voneinander weg.

Gegenvektoren sind immer zueinander kollinear.

Man nennt sie auch antiparallele Vektoren.

Siehe auch 👉 Gegenvektor

Lagen von Geraden und Kollinearität

Die Kollinearität von Vektoren kommt häufig bei folgender Fragestellung vor:

Man hat zwei Geraden im 3D-Raum gegeben und soll überprüfen, ob die Geraden parallel zueiander sind.

Man muss dazu nur überprüfen, ob die zwei Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, sind die Gerade parallel.

Mehr dazu unter 👉 Gegenseitige Lagen von Geraden

Parallelität und Kollinearität im Vergleich

Vektoren kann man sich entweder als rein abstrakte Rechengebilde ohne geometrische Anschaulichkeit vorstellen. Dann spricht man von kollinearen Vektoren und meint damit nur, dass Vektor a ein Vielfaches von Vektor b ist. Oder man stellt sich die Vektoren alternativ als Pfeile vor. Diese können dann sinnvollerweise auch parallel (gleiche Richtung) oder antiparallel (entgegengesetzte Richtung) zueinander sein. Stellt man sich Vektoren also als Pfeile vor, dann kann man statt von Kollinearität auch von Parallelität sprechen. Siehe auch  [1]. Die Vektoren dürfen unterschiedlich lang sein, müssen es aber nicht. Sie dürfen - müssen aber nicht - Gegenvektoren zueinander sein. Das ist hier kurz erklärt.">👉 parallele Vektoren

Können nur Vektoren kollinear sein?

Nein, auch Punkte können zueinander kollinear sein: zwei oder mehr Punkte nennt man genau dann kollinear zueinander, wenn sie alle auf ein und derselben Geraden liegen. Mehr dazu unter 👉 kollineare Punkte

Fußnoten

[1]">[1] Dass man die Kollinearität von zwei Vektoren über ihr Vektor- oder Kreuzprodukt überprüfen kann, ist erklärt in: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort im Kapitel "II Vektoralgebra" auf Seite 92. Siehe auch [1] oder äußeres Produkt [2] genannt, hat seinen Namen daher, da es bei der Multiplikation von zwei Vektoren als Ergebnis einen Vektor liefert. Das ist hier kurz erklärt.">👉 👉 Vektorprodukt