Gegenseitige Lagen von Geraden
Vektorrechnung
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Basiswissen ·
Parallel ·
Parallel und identisch ·
Parallel und nicht identisch ·
Es gibt genau einen Schnittpunkt ·
Windschief ·
Orthogonal
Basiswissen
Gegenseitige Lage von zwei Geraden meint, dass man untersuchen, wie sie im dreidimensionalen zueinander angeordnet sind. Normalerweise werden einige Sonderfälle unterschieden: sie sind parallel aber nicht identisch, sie sind identisch, sie haben genau einen Schnittpunkt, sie haben keinen Schnittpunkt und sind auch nicht parallel, sie stehen senkrecht aufeinander.
Parallel
- Man hat zwei Geraden in Parameterform gegeben.
- Man vergleicht die zwei Richtungsvektoren.
- Sind sie kollinear, dann sind die Geraden parallel zueinander.
- Mehr dazu unter kollineare Vektoren ↗
- Siehe auch parallele Geraden ↗
Parallel und identisch
- Identisch heißt für zwei Geraden: es sind dieselben Geraden.
- Jeder Punkt der einen Geraden ist auch ein Punkt der anderen Geraden
- Bei parallelen Geraden genügt es, wenn ein Punkt einer Geraden auch auf der anderen liegt.
- Dann sind automatisch alle anderen Punkte auch Teile beider Geraden.
- Um das überprüfen, nimmt man den Stützvektor einer der zwei Geraden.
- Mit ihm macht man eine Punktprobe mit der anderen Geraden.
- Geht die Punktprobe auf und waren die Geraden auch parallel, ...
- dann sind die zwei Geraden automatisch auch identisch.
- Mehr unter Punktprobe 3D ↗
Parallel und nicht identisch
- Man geht vor wie unter "parallel und identisch".
- Geht die Punktprobe am Ende nicht auf, dann ...
- sind die geraden echt parallele Geraden ↗
Es gibt genau einen Schnittpunkt
- Sind zwei geraden nicht parallel zueinander, können sie immer noch einen Schnittpunkt haben.
- Ob das so ist, erkennt man über das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen.
- Findet man einen Schnittpunkt, dann ist genau das der Schnittpunkt der Geraden.
- Waren die Geraden nicht parallel zueinander, kann es keine weiteren Schnittpunkte geben.
- Zum Verfahren, siehe unter Geradenschnittpunkte über Vektorrechnung ↗
Windschief
- Sind zwei Geraden nicht parallel und haben sie auch keinen Schnittpunkt, dann sind sie windschief.
- Mehr dazu unter Windschiefe Geraden ↗
Orthogonal
- Stehen die zwei Richtungsvektoren der Geraden senkrecht aufeinander, ...
- dann sind auch die Geraden senkrechtrecht zueinander.
- Um das zu überprüfen, bildet man das Skalarprodukt der zwei Richtungsvektoren.
- Ergibt das Skalarprodukt genau 0, dann sind die Geraden senkrecht zueinander.
- Mehr unter Orthogonale Geraden ↗