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Skalarprodukt


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Definition


Das Skalarprodukt für zwei Vektoren ist sehr einfach zu berechnen. Das Ergebnis ist immer nur eine reine Zahl. Diese Zahl hat verschiedene anschauliche Bedeutungen. Berechnung und Bedeutung werden hier kurz behandelt.

Skalar


◦ In der Mathematik meint Skalar eine reine Zahl.
◦ Ein Vektor oder eine Matrix sind kein Skalar.
◦ Skalare sind Zahlen wie: 3; -0,5 oder ½

Skalarprodukt


◦ Man kann zwei Vektoren so multiplizieren,
◦ dass das Produkt wieder einen Vektor gibt.
◦ Das Ergebnis nennt man das Kreuzprodukt.
◦ Man kann zwei Vektoren aber auch so multiplizieren,
◦ dass das Ergebnis eine reine Zahl, also ein Skalar gibt.
◦ Das ist gemeint mit dem Skalarprodukt.

Berechnung


◦ Ein Vektor besteht aus Komponenten.
◦ Ein erster 3D-Vektor hätte z. B. die Komponenten A, B und C.
◦ Ein anderer 3D-Vektor hätte z. B. die Komponenten d, e und f.
◦ Dann ist das Skalarprodukt: Ad+ Be + Cf
◦ Mehr unter => Skalarprodukt berechnen

Winkel


◦ Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, gibt ihr SP immer 0.
◦ Ist das SP zweier Vektoren Null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
◦ Einzige Ausnahme: wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist.
◦ SP = Länge erster Vektor · Länge zweiter Vektor · cos von Alpha
◦ Alpha ist der (kleinste) Winkel zwischen den beiden Vektoren
◦ Siehe auch => Winkel über Skalarprodukt

Anschaulich


◦ Man bildet das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b.
◦ Das Skalarprodukt ist als Zahlenwert dann immer gleich ...
◦ dem Produkt der Länge von a und der Länge der Projektion von b auf a.
◦ Mehr dazu unter => Skalarprodukt anschaulich

Standardaufgab


◦ Man soll überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
◦ Gibt ihr Skalaprodukt 0, sind die Vektoren senkrecht zueinander.
◦ Beispiel: Man hat die Vektoren (2|6|-5) und (9|2|6).
◦ Das Skalarprodukt ist 2·9 + 6·2 + (-5)·6 = 0
◦ Die Vektoren sind senkrecht zueinander.

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