Skalarprodukt anschaulich
Vektorrechnung
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Basiswissen｜
Kurzversion｜
Erklärskizze｜
Das Skalarprodukt und Ebenen｜
Wo wird das Skalarprodukt verwendet?
Basiswissen
Das Skalarprodukt zweier Vektoren hat eine anschauliche Bedeutung: das Produkt aus der Länge des einen Vektors mit der auf ihn projizierten Länge des anderen Vektors. Das ist hier kurz erklärt.
Kurzversion
Man man sich die beiden Vektoren mit ihren Anfangspunkten - also dem Pfeilende ohne Pfeilspitze - verbunden vor. Man stelle sich die Glasscheibe eines Fensters vor. Dort klebt man die beiden Vektoren gedanklich auf. Dabei muss einer der beiden Vektoren - es ist egal welcher - waagrecht verlaufen, also von links nach rechts. Diesen waagrechten (horizontalen) Vektoren nennen wir hier b. Der andere Vektor soll dann nach oben gehen. Er heißt hier a. Nun lässt man gedanklich von oben nach unten Regen in Tropfen fallen. Die Tropfen fallen senkrecht von oben nach unten. Der obere Vektor a wirkt dabei als Dach: unter ihm bleibt es trocken. Die trockene Länge ist die Projektion des Vektors a auf b. Die Länge dieser Projektion multipliziert man mit der Länge des Vektors b. Das Ergebnis ist eine Zahl und heißt Skalarprodukt.
Erklärskizze
Zeichne ein x-y-Koordinatensystem. Beide Achsen sollen von 0 bis 10 gehen. Zeichne jetzt vom Ursprung ausgehend den Vektor (8|0). Dieser Vektor liegt auf der x-Achse. Zeichne dann den Vektor (4|3). Dieser Vektor geht vom Ursprung aus leicht nach rechts oben. Die Projektion des kleine Vektors auf den Großen kann man sich so vorstellen: Lasse gedanklich von oben senkrechte und parallele Sonnenstrahlen auf den längeren Vektor scheinen. Der kleinere Vektor wird dann einen Schatten auf den längeren Vektor werfen. Dieser Schatten wäre die Projektion. Die Schattenlänge wäre 4. Die Länge des langen Vektors (also 8) mal der Länge der Projektion des anderen Vektors (also 4) ergibt das Skalarprodukt, also 32. Das gleiche Ergebnis käme durch die Summe der Koordinatenprodukte heraus: 8·4 + 0·3 = 32.
Das Skalarprodukt und Ebenen
Das Skalarprodukt erscheint in den sogenannten Normalenformen von Ebenen. Bei dieser rechnerischen Darstellung einer Ebene gibt es einen Normalenvektor n, der immer senkrecht auf der über ihn definierten Ebene steht. Und dann gibt es einen frei wählbaren Vektor x. Dieser Vektor x muss mit seinen Koordinaten dann der gegebenen Gleichung genügen. Beispiel: x·n = 8 ist die Darstellung einer Ebene in Koordinatenform, wenn n und x jeweils Vektoren im dreidimensionalen Raum sind. Mit den folgenden Schritten kann man vielleicht besser geometrisch verstehen, warum diese Gleichung eine Ebene definiert.
- Stelle dir ein 3D-Koordinatensystem vor, z. B. als 👉 xyz-Koordinatensystem
- Stelle dir den Vektor (0 0 4) vor. Wir nennen ihn n. Denke ihn dir als 👉 Ortsvektor
- Der Ortsvektor (0 0 4) beginnt im Koordinatenursprung und zeigt senkrecht nach oben.
- Versuche dir jetzt möglichst viele andere Ortsvektoren x vorzustellen.
- Sie sollen also alle auch im Koordinatenursprung beginnen.
- Und: jeder dieser Vektoren x soll mit n als Skalarprodukt genau 8 ergeben.
- Eine möglicher solcher Vektor x ist (0 0 2).
- Ein anderer möglicher Vektor ist (7 3 2).
- Noch ein anderer Vektor ist (-1 9 2).
- Denke dir noch mehr solche Vektoren aus.
- Überlege dir dann, was der Ort ihrer Spitzen gemeinsam hat.
- Die Spitzen aller möglichen Vektoren x haben eine Gemeinsamkeit.
- Wenn du diese Gemeinsamkeit erkennst, verstehst du besser die Idee vom 👉 Skalarprodukt
Eng verwandt mit dieser Art Ebenen über Normalenvektoren zu definieren ist die abstrakte Idee des Geometrischen Ortes. Ein geometrischer Ort. Ein geometrischer Ort ist die Menge aller Punkte, die einen bestimmten Bedingung genügen. Die Bedingung kann in Worten oder auch als Gleichung definiert sein. Siehe dazu auch 👉 geometrischer Ort
Wo wird das Skalarprodukt verwendet?
Diese anschauliche Version spielt vor allem in der Physik eine große Rolle. Bei vielen physikalischen Formeln spielen nur projizierte Anteile, zum Beispiel von Kräften eine Rolle. Ein Beispiel ist die Berechnung der mechanischen Arbeit nach der Formel W=F·d. Ebenso kann man mit Hilfe dieser Anschauung auch die Normalenform der Ebenengleichung in der Vektorrechnung direkt bildlich interpretieren. Siehe das als Beispiele unter 👉 Normalenform der Ebene