Windschiefe Geraden
Vektorrechnung
Definition
Geraden, die sich nie treffen und auch nicht parallel sind: in der Vektorrechnung nennt man zwei Geraden genau dann windschief, wenn keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben und auch nicht parallel zueinander sind. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass sie auch nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen können.
Eigenschaften
- Im Zweidimensionalen (2D) gibt es keine windschiefen Geraden.
- Windschiefe Geraden gibt es nur im drei- oder höherdimensionalen Raum.
- Die beiden Richtungsvektoren der Geraden sind zueinander kollinear ↗
- Die zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt ↗
Dürfen windschiefe Geraden parallel zueinander sein?
- Nein, das ist durch die Definition ausgeschlossen.
- Wenn zwei Geraden parallel zueinande sind, können sie nicht windschief sein.
- Sie liegen dann zwingend auch in einer gemeinsamen Ebene.
- Mehr unter parallele Geraden ↗
Dürfen windschiefe Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen?
- Nein, das ist durch die Definition implizit (indirekt) ausgeschlossen.
- Man sagt auch: windschiefe Geraden sind nie zueinander komplanar ↗
- Es darf keine Ebene geben, in der beide Geraden vollständig enthalten sind.
- Sind zwei Geraden zueinander parallel, liegen sie immer einer gemeinsamen Ebene.
- Haben zwei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt, liegen sie immer in einer gemeinsamen Ebene.
- Lies mehr unter Komplanarität [auch von Geraden] ↗
Dürfen windschiefe Geraden einen 90°-Winkel bilden?
- Das heißt: windschiefe Geraden können einen 90°-Winkel miteinander bilden.
- Das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gibt dann genau 0.
- Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen ihnen heißt Minimaltransversale ↗
- Diese kürzeste Verbindungsstrecke ist immer auch ein Gemeinlot ↗
- Zur Überprüfung verwendet man das Skalarprodukt ↗
- Siehe auch orthogonale Geraden ↗
Der Abstand von windschiefen Geraden
- Zwei windschiefe Geraden haben immer einen eindeutig minimalsten Abstand.
- Dieser kürzestmögliche Abstand heißt oft kurz auch nur Abstand.
- Wie man ihn bestimmt steht unter Abstand von Gerade zu Gerade ↗
Wie überprüft man die Parallelität der Geraden?
- Zwei windschiefe Geraden dürfen zueinander nicht parallel sein.
- Das kann man leicht mit wenig Rechenaufwand überprüfen.
- Zur Überprüfung nimmt die beiden Richtungsvektoren.
- Man überprüft, ob sie zueinander kollinear sind.
- Kollinear heißt: der eine Vektor mal irgendeine Zahl gibt den anderen Vektoren.
- Wenn man eine solche Zahl finden kann, dann sind die Vektoren zueinander kollinear ↗
- Kann man keine solche Zahlen finden, dann sind die Vektoren zueinander nicht kollinear.
- Sind die Richtungsvektoren kollinear, können die Geraden nicht mehr windschief sein.
- Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, können die Geraden zueinander windschief sein.
- Siehe auch kollineare Vektoren ↗
Wie überprüft man, ob es einen Schnittpunkt gibt?
- Dazu setzt man die beiden Gleichungsterme gleich.
- Man hat dann ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
- Unbekannt sind die zwei Richtungsvektoren r und s.
- Hat dieses Gleichungsystem eine Lösung, gibt es einen Schnittpunkt.
- Hat dieses Gleichungssystem keine Lösung, gibt es auch keinen Schnittpunkt.
- Nur wenn es keine Lösung gibt, können die Geraden zueinander windschief sein.
- Lies mehr unter Schnittpunkte von Geraden mit Geraden 3D ↗
Fußnoten
- [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 110.
- [2] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2020. ISBN: 978-3-7426-2015-6. Seite 55.