Basiswissen

Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn sie gleich sind. Zwei identische Geraden haben immer denselben Graphen und immer dieselbe Darstellung in einem Koordinatensystem. Das ist hier kurz erläutert.

Identische Geraden in einem xy-Koordinatensystem (2D)

Man betrachtet ein normales Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Für ein solches Koordinatensystem sind zwei Geradengleichungen gegeben.

Wenn die zwei Geraden dieselbe Steigung m und auch denselben ...

y-Achsenabschnitt b haben, dann sind die zwei Geraden identisch.

Um das zu überprüfen, formt man die Gleichungen erst um.

Die übliche Darstellung ist die Form y=mx+b ↗

I y = 0,5x+16 ⭢ ist schon umgeformt ⭢ y = 0,5x+16

II y = (2/4)x+16 ⭢ wird umgeformt zu ⭢ y = 0,5x+16

III 2y = x + 32 ⭢ wird umgeformt zu ⭢ y = 0,5x+16

Alle drei Geraden I, II und III sind identisch ✔

Identische Geraden in einem xyz-Koordinatensystem (3D)

Zwei Geraden in einem 3D-Koordinatensystem sind genau dann identisch, wenn es dieselben Geraden sind, sie also überall durch die selben Punkte gehen. Jeder Punkt von der einen Geraden ist also immer auch ein Punkt von der anderen Geraden. Für die Richtungsvektoren von zwei identischen Geraden gilt, dass sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sein müssen. Sie dürfen unterschiedlich lang sein, sie dürfen auf die Pfeilspitzen an entgegengesetzten Seiten haben, aber sie müssen parallel sein. In der Sprache der Vektorrechnung müssen die Richtungsvektoren also parallel sein. Um zu überprüfen, ob zwei Geraden identisch sind, kann man Schritt-für-Schritt wie folgt vorgehen:

Die Geradengleichung ist gegeben als sogenannten Parameterform der Geraden ↗

Man vergleicht zuerst den Richtungsvektor der einen Geraden mit dem der anderen Geraden.

Sind die beiden Richtungsvektoren kollineare Vektoren [?] ↗

Dann überprüft man, ob der Stützpunt der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt.

Rechnerisch macht man also eine Punktprobe 3D ↗

Aus den zwei Ergebnissen (kollinear? Punktprobe) zieht man dann einen Schluss:

Sind die zwei Richtungsvektoren zueinander kollinear UND ging die Punktprobe auf, dann sind die beiden Geraden identisch ↗

Sind die zwei Richtungsvektor zueinander kollinear und die Punktprobe ging nicht auf, dann sind die beiden Geraden zueinander echt parallel ↗