Basiswissen

Eine Ebene in der Punkt-Normalenform (X-p)·n=0 kann immer in die Parameterform x = p + r·v1 + s·v2 mit p als Stützvektor und den Richtungs- oder Spannvektoren v1 und v2 umgewandelt werden. Das ist hier kurz vorgestellt.

Drei Lösungsideen

Es gibt verschieden Methode der Umwandlung. Man kann zum Beispiel recht einfach die Normalenform in die Koordinatenform umwandeln, bestimmt damit (das ist leicht) drei Punkte der Ebene und bestimmt dann aus diesen drei Punkten die Parameterform (Variante I). Alternativ kann man auch auch direkt aus der Punkt-Normalenform drei Punkte bestimmen (Variante II). Oder aber man bestimmt aus dem gegebenen Normalenkektor irgendwelche zwei dazu senkrecht stehende Vektoren. Solche zwei Vektoren sind dann immer auch geeignete Richtungsvektoren der gesuchten Parameterform [Variante III].

Variante I: über die Koordinatenform

Gegeben ((X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗

Umwandeln in X·(1|1|2)=8 als allgemeine Normalenform der Ebene ↗

Diese umwandeln in 1x+1y+2z=8 als Koordinatenform der Ebene ↗

Dann diese umwandeln in die gesuchte Parameterform.

Siehe dazu Koordinatenform in Parameterform ↗

Variante II: über drei willkürliche Punkte

Diese Methode ist mit Übung schneller, aber anfällig für (Kopf)Rechenfehler.

(X-p)·n=0 ist der Bauplan für eine Punkt-Normalenform der Ebene ↗

((X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 ist ein konkretes Zahlenbeispiel.

Das große X steht hier für einen beliebigen Ortsvektor ↗

Man kann beliebige Vektoren für x einsetzen, z. B. (4|1|5).

Dann überprüft man, ob die Ebenengleichung damit aufgeht.

Der Punkt (·) steht dabei für das sogenannte Skalarprodukt ↗

Man setzt als versuchsweise den geratenen Punkt (4|1|5) ein:

((4|1|5)-(4|4|0))·(1|1|2)=0, dann erst die Vektordifferenz [berechnen] ↗

(0|-3|5)·(1|1|2)=0 und jetzt das Skalarprodukt berechnen:

-3+10=7: die Gleichung geht nicht auf, (4|1|5) liegt nicht auf der Geraden.

Solange weiter Punkte probieren, bis man drei Punkte gefunden hat.

Drei passende Punkte sind dann zum Beispiel: (4|4|0), (5|5|-1) und (6|6|-2)

Mit diesen drei Punkten kann man dann die Parameterform aufstellen.

Siehe dazu Parameterform der Ebene aus drei Punkten ↗

Variante III: über zwei Richtungsvektoren

Man kennt den Normalenvektor der Ebene, dieser ist gegeben.

Jeder Vektor, der senkrecht (90°-Winkel) zum Normalenvektor steht, ist ein passender Richtungsvektor für die Ebene in Parameterform ↗

Man sucht jetzt also zwei Vektoren, die einen 90°-Winkel zum gegeben Normalenvektor bilden.

Wie man solche Vektoren findet steht unter Orthogonale Vektoren bestimmen ↗