Koordinatenform in Punkt-Normalenform

Vektorrechnung

Basiswissen

Gegeben, gesucht

• Gegeben: ax+by+cz=d Koordinatenform der Ebene ↗
  

• Gesucht: (X-p)·n = 0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Legende

• Gegeben: (X-p)·n = 0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

• Gesucht: ax + by + cz = d Koordinatenform der Ebene ↗
  

Legende

• X = ein beliebiger variabler Ortsvektor auf einen Punkt auf der Ebene
  

• p = ein beliebiger fixer Orstvektor auf einen Punkt der Ebene, also ein Stützvektor ↗
  

• n = ein beliebiger Vektor senkrecht auf der Ebene, also ein Normalenvektor ↗
  

• a, b, c = fixe Zahlen als Koeffiziente, entsprechen dem Normalenvektor ↗
  

• x, y, z = variable Koordinaten eines Punktes der Ebene, entsprechen dem Vektor X
  

• d = eine feste Zahl, ein sogenannter Skalar ↗
  

Grundidee der Umwandlung

Zahlenbeispiel =====

• Gegeben: 1x+1y+2z=8 als Koordinatenform der Ebene ↗
  

• Die Koeffizienten schreibt man als (1|1|2) interpretiert als Normalenvektor [n] ↗
  

• Durch Einsetzen beliebiger Zahlen x, y und z kann man einen Punkt auf der Ebene suchen.
  

• Man probiert solange, bis die Gleichung der Koordinatenform aufgeht, sozusagen als Punktprobe ↗
  

• Zur Vereinfachung kann man für zwei der drei Variablen x, y und z die 0 einsetzen.
  

• Man erhält hier zum Beispiel als einen möglichen Punkt (0|0|4).
  

• Diesen Punkt nimmt man als Richtungsvektor p für die gesuchten Punkt-Normalenform.
  

• Man hat jetzt also den Normalenvektor n und den Stützvektor p mit Zahlen bestimmt.
  

• Eine mögliche Lösung ist dann (X-(0|0|4))·(1|1|2)=0 ✔
  

• Siehe auch Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Kann es verschiedene Lösungen geben?