Basiswissen

Eine Ebenengleichung in allgemeiner Normalenform ist zum Beispiel x·(3|4|0)=20. Dieselbe Ebene dargestellt in der Hesseschen Normalenform ist x·(3/5|4/5|0)=4. Die Umwandlung ist hier kurz erklärt.

Grundidee

Die Hessesche Normalenform ist ein Sonderfall einer allgemeinen Normalenform, nämlich eine allgemeine Normalenform bei der der Normalenvektor genau die Länge 1 hat. Man dividiert also beide Seiten der Gleichung durch die Länge des gegebenen Normalenvektors. Damit hat der Normalenvektor die Länge 1 und man hat die 👉 Hessesche Normalenform der Ebene

Erstes Zahlenbeispiel

Man hat gegeben x·(3|4|0) = 20 als 👉 allgemeine Normalenform der Ebene

Der Vektor (3|4|0) ist der sogenannte 👉 Normalenvektor

Man berechnet seine Länge, gibt hier die Zahl 5 👉 Vektorlänge

Man dividiert beide Seiten der Gleichung durch diese Vektorlänge.

Links kann man dazu den gegeben Normalenvektor durch 5 dividieren.

Das gibt den Vektor (3|4|0), siehe dazu auch 👉 Vektor durch Zahl

Rechts dividiert man einfach die Zahl d durch die Vektorlänge.

Das gibt rechts im Zahlenbeispiel also 20 geteilt durch 5 = 4.

Das Endergebnis ist also x·(3/5|4/5|0) = 4 ✔

Siehe auch 👉 Hessesche Normalenform der Ebene