Allgemeine Normalenform in Koordinatenform
Vektorrechnung
Umwandlung
X·[1|1|2]=8 ist eine typische Gleichung für eine Ebene in der allgemeinen Normalenform. Der allgemeine Bauplan ist X·n=d mit X als einen beliebigen Ortsvektor, n als einem sogenannten Normalenvektor und d als einer reinen Zahl. In Koordinatenform ist dieselbe Ebene bestimmt über die Gleichung 1x+1y+2z=8. Die Umwandlung erfordert keinerlei Rechnung. Sie ist hier kurz vorgestellt.
Grundidee
Man nimmt die drei Vektorkoordinaten des Normalenvektors n und setzt sie als Koeffizienten vor das x, y und z der Koordinatenform. Auch die Zahl d kann ohne weitere Umwandlung sofort übernommen werden.
x, y, z oder x1, x2 und x3?
Beides wird verwendet und beides ist richtig. x entspricht x1. y entspricht x2 und z entspricht x3. Die Variablen stehen für die drei Vektorkoordinaten ↗
Herleitung
Die linke Seite der Normalenform ist X·n, wobei X ein variabler Vektor ist, der als Ortsvektor gedeutet mit seiner Spitze immer zu einem Punkt auf der Ebene führt. Das Malzeichen (·) steht für das sogenannte Skalarprodukt. Schreibt man den Variablen Vektor X mit seinen Vektorkoordinaten x, y und z aus und schreibt man dann das Skalarprodukt mit dem Vektor n aus, kommt alleine durch die Definition des Skalarproduktes zur Koordinatenform. Beispiel: das Skalarprodukt aus den Vektoren (x|y|z) und (2|3|4) ist 2x+3y+4z. Siehe auch Skalarprodukt ↗