Basiswissen

x·^[1|1|2]=8 ist eine Beispiel für eine Ebenengleichung in der allgemeinen Normalenform. Dieselbe Ebene geschrieben als (x-(4|4|0))·(1|1|2)=0 ist die sogenannte Punkt-Normalenform der Ebene. Dabei steht das x hier in beiden Fällen für einen Vektor und nicht für eine Zahl. Beide Formen werden oft salopp auch kurz nur als die Normalenform bezeichnet. Hier wird kurz die Umwandlung vorgestellt.

Grundidee

x·n=d ist gegeben und (x-p)·n=0 ist gesucht. Dabei ist das kleine d eine Zahl und das kleine p ein beliebiger Ortsvetor hin zu einem Punkt auf der Ebene. Durch Probieren kann man aus der ersten Gleichung einen Punkt auf der Ebene bestimmen. Es ist egal, welchen Punkt man dabei findet. Diesen Punkt setzt man dann an Stelle des p in die Punkt-Normalenform ein. Der Normalenvektor n ist für beide Formen identisch und kann einfach übertragen werden.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist x·^[1|1|2]=8 als allgemeine Normalenform der Ebene ↗

Gesucht ist (x-p)·n=0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗

Den Normalenvektor (1|1|2) kann man sofort als n übernehmen.

Das kleine x steht hier für einen beliebigen Ortsvektor auf einen beliebigen Punkt der Ebene.

Ausgeschrieben mit Zahlen kann willkürlich für x annehmen (1|4|2).

Der Malpunkt (·) steht hier für das sogenannte Skalarprodukt ↗

Damit rechnet man das Skalarprodukt aus: (1|4|2)·(1|1|2)

Das gibt im Beispiel: (1|4|2)·(1|1|2) = 1·1+4·1+2·2 = 9

Damit geht die Gleichung aber nicht auf, denn 9 ≄ 8.

Man probiert so lange, bis man einen Vektor x gefunden hat, bei dem die Rechnung aufgeht.

Ein solcher Vektor ist zum Beispiel: (0|0|4)

Diesen gefundenen Vektor kann man für p einsetzen.

Damit kennt man n und p aus der gesuchten Punkt-Normalenform.

Das Ergebnis ist dann: (x-(0|0|4))·(1|1|2)=0 ✔

Siehe auch Punkt-Normalenform der Ebene ↗

Die Umkehrrechnung als Probe

Man kann das Ergebnis auch wieder rückumwandeln in die allgemeine Normalenform. Dabei muss wieder die ursprüngliche Ebenengleichung entstehen. Siehe dazu unter Punkt-Normalenform in allgemeine Normalenform ↗