Basiswissen

(x-(4|4|0))·(1|1|2)=0 ist eine Ebene in Punkt-Normalenform. Dieselbe Ebene in der allgemeinen Normalenform geschrieben ist x·^[1|1|2]=8. Hier wird die Umwandlung kurz erlärt.

Grundidee

Auf der linken Seite der gegeben Punkt-Normalenform (x-(4|4|0))·(1|1|2) steht links in einer Klammer eine Vektordifferenz. Diese Differenz gibt gedanklich einen Vektor als Ergebnis. Dieser Vektor bildet dann ein Skalarprodukt mit dem Normalenvektor. Das Ganze hat die Form (a-b)·c. Die Grundidee der Umwandlung ist die Anwendung des Distributivgesetzes, also das Ausmulitplizieren der Klammer auf der linken Seite der Gleichung.

Zahlenbeispiel

Gegeben (x-(4|4|0))·(1|1|2)=0 als 👉 Punkt-Normalenform der Ebene

Dies deuten als (a-b)·c für das 👉 Distributivgesetz

Distributivgesetz anwenden gibt zunächst x·(1|1|2) - (4|4|0)·(1|1|2) = 0

Das Produkt (4|4|0)·(1|1|2) gibt die Zahl 8 als 👉 Skalarprodukt

Der nächste Zwischenritt ist also: x·(1|1|2) - 8 = 0

Dann die -8 auf die andere Seite addieren als 👉 Äquivalenzumformung

Das Endergebnis ist dann x·(1|1|2) = 8

Das ist die 👉 allgemeine Normalenform der Ebene

Probe über die Umkehrrechnung

Als Probe kann man das Ergebnis sozusagen rückwärts wieder zurückumwandeln in die gegebene Ausgangsform. Das ist erklärt unter 👉 allgemeine Normalenform in Punkt-Normalenform