Punkt-Normalenform in Allgemeine Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
(x-(4|4|0))·(1|1|2)=0 ist eine Ebene in Punkt-Normalenform. Dieselbe Ebene in der allgemeinen Normalenform geschrieben ist x·[1|1|2]=8. Hier wird die Umwandlung kurz erlärt.
Grundidee
Auf der linken Seite der gegeben Punkt-Normalenform (x-(4|4|0))·(1|1|2) steht links in einer Klammer eine Vektordifferenz. Diese Differenz gibt gedanklich einen Vektor als Ergebnis. Dieser Vektor bildet dann ein Skalarprodukt mit dem Normalenvektor. Das Ganze hat die Form (a-b)·c. Die Grundidee der Umwandlung ist die Anwendung des Distributivgesetzes, also das Ausmulitplizieren der Klammer auf der linken Seite der Gleichung.
Zahlenbeispiel
- Gegeben (x-(4|4|0))·(1|1|2)=0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗
- Dies deuten als (a-b)·c für das Distributivgesetz ↗
- Distributivgesetz anwenden gibt zunächst x·(1|1|2) - (4|4|0)·(1|1|2) = 0
- Das Produkt (4|4|0)·(1|1|2) gibt die Zahl 8 als Skalarprodukt ↗
- Der nächste Zwischenritt ist also: x·(1|1|2) - 8 = 0
- Dann die -8 auf die andere Seite addieren als Äquivalenzumformung ↗
- Das Endergebnis ist dann x·(1|1|2) = 8
- Das ist die allgemeine Normalenform der Ebene ↗
Probe über die Umkehrrechnung
Als Probe kann man das Ergebnis sozusagen rückwärts wieder zurückumwandeln in die gegebene Ausgangsform. Das ist erklärt unter allgemeine Normalenform in Punkt-Normalenform ↗