Parameterform in Hessesche Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
Gegeben ist eine Ebene in der Parameterform x = p + r·v1 + s·v2. Diese soll umgewandelt werden in die Hessesche Normalenform x·n₀ = d, alternativ auch geschrieben als [ax+by+cz-d]/√(a²+b²+c²) = 0. Die Umwandlung ist hier kurz vorgestellt.
Grundidee
Man geht in zwei Schritten vor. In einem ersten Schritt wandelt man die Parameterform um in die allgemeine Normalenform der Ebene. In einem zweiten Schritt wandelt man dann die allgemeine Normalenform um in die Hessesche Normalenform. Bei diesem zweiten Schritt muss man die Gleichung nur noch durch die Länge des Normalenvektors dividieren.
Die Einzelschritte
Ein Zahlenbeispiel
- Gegeben ist x = (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) als Parameterform der Ebene ↗
- Erster Schritt hin zu x·[1|1|2]=8 als allgemeine Normalenform der Ebene ↗
- Zweiter Schritt zum Endergebnis X·[1/√6|1√6|2/√6]=8/√6 als Hessesche Normalenform der Ebene ↗
- Siehe auch Ebenengleichungen umwandeln ↗