Parameterform in Hessesche Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
Gegeben ist eine Ebene in der Parameterform x = p + r·v1 + s·v2. Diese soll umgewandelt werden in die Hessesche Normalenform x·n₀ = d, alternativ auch geschrieben als [ax+by+cz-d]/√(a²+b²+c²) = 0. Die Umwandlung ist hier kurz vorgestellt.
Grundidee
Man geht in zwei Schritten vor. In einem ersten Schritt wandelt man die Parameterform um in die allgemeine Normalenform der Ebene. In einem zweiten Schritt wandelt man dann die allgemeine Normalenform um in die Hessesche Normalenform. Bei diesem zweiten Schritt muss man die Gleichung nur noch durch die Länge des Normalenvektors dividieren.
Die Einzelschritte
=> Parameterform in allgemeine Normalenform [erster Schritt]
=> Allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform [zweiter Schritt]
Ein Zahlenbeispiel
- Gegeben ist x = (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) als => Parameterform der Ebene
- Erster Schritt hin zu x·[1|1|2]=8 als => allgemeine Normalenform der Ebene
- Zweiter Schritt zum Endergebnis X·[1/√6|1√6|2/√6]=8/√6 als => Hessesche Normalenform der Ebene
- Siehe auch => Ebenengleichungen umwandeln