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Parameterform in Koordinatenform


Vektorrechnung


Grundidee


Eine Ebene ist in der sogenannten Parameterform mit Stütz- und Richtungsvektoren gegeben. Gesucht ist eine Gleichung derselben Ebene in der sogenannten Koordinatenform ax+by+cz=d. Dazu werden hier verschiedene Wege kurz vorgestellt.

Variante I: über das Kreuzprodukt


Man nimmt die zwei Richtungsvektoren aus der Parameterform und berechnet für sie ihr Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt. Das Kreuzprodukt hat als Ergebnis wieder einen Vektor mit drei Vektorkoordinaten a, b und c. Diese drei Vektorkoordinaten kennt man dann als Zahlenwerte. Diese drei Zahlenwerte sind gleichzeitig die Koeffizienten (Vorfaktoren) a, b und c aus der Koordinatenform. Man setzt sie dann als Zahlen für a, b und der Koordinatenform ein. Man hat jetzt die Koordinatenform ax+by+cz=d mit Zahlen für a, b und c stehen. Noch variablen, also unbekannt sind x, y und z. Dann nimmt man sich die Vektorkoordinaten des Stützvektors der Ebene. Diese drei Koordinaten setzt man für x, y und z ein. Jetzt hat man auf der linken Seite nur Zahlen stehen. Damit kann man die linke Seite der Koordinatenform ausrechnen und erhält als Ergebnis den Zahlenwert für d. Am Ende schreibt die Gleichung mit den Zahlenwerten für a, b, c und d auf und lässt x, y und z als Variablen stehen. Siehe auch Koordinatenform der Ebene ↗

Variante II: über Skalarprodukte


Die Grundidee hier ist, dass der gesuchte Normalenvektor n auf beiden Spannvektoren (Richtungsvektoren) v1 und v2 der Parameterform stehen muss. Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen muss ihr Skalarprodukt 0 ergeben. Der Ansatz ist also: n·v1=0 und auch n·v2=0. Der Malpunkt (·) steht hier für das Skalarprodukt. Schreibt man das Skalarprodukt für beide Ansätze aus, dann erhält man zwei Gleichungen mit ingesamt drei Unbekannten. Mehrere Gleichungen, bei die dieselben Unbekannten haben nennt man ein Gleichungssystem. Hat ein Gleichungssystem mehr Gleichungen als Unbekannte, nennt man es in der Fachsprache der Mathematik unterbestimmt. Das ist hier der Fall: 2 Gleichungen, 3 Unbekannte. In diesem Fall darf man dann für eine der drei Unekannten einen beliebigen Wert einsetzen, irgendeine Zahl am besten, mit der man leicht rechnen kann. Dann hat man ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses kann man dann weiter lösen und hat am Ende die Werte a, b und c. Diese drei Werte entsprechen auch den Vektorkoordinaten des Normalenvektors. Jetzt fehlt noch der Wert für das kleine d aus der Koordinatenform. Man setzt dazu den Stützpunkt aus der Parameterform in die Koordinatenform mit den gerade gefundenen Zahlenwerte für a, b und c ein. Das kleine d ist dann die einzige Unbekannte. Man löst danach auf und hat dann alles gesuchten Werte für a, b, c und d. Die Variablen x, y, und z lässt man als Buchstaben stehen.

Variante III: über ein lineares Gleichungssystem


Die Grundidee ist hier, dass man sich über Einsetzen beliebiger Zahlenwerte für r und s in der Parameteform zunächst vier beliebige Punkte auf der Ebene besorgt. Jeden dieser drei Punkte setzt man dann für x, y, und z der Reihe nach in die Koordinatenform ein. Dadurch entstehen vier Gleichungen mit insgesamt vier Unbekannten, nämlich: a, b, c und d. Dieses lineare Gleichungsystem mit vier Unbekannten löst man dann mit einem Taschenrechner oder dem Gauß-Algorithmus ↗