Basiswissen

Gegegeben und gesucht

• Gegeben: x = p + r·v1 + s·v2 Parameterform der Ebene ↗
  

• Gesucht: x·n = d Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

Schritt 1: n bestimmen

• Man nimmt die beiden Spannvektoren v1 und v2 der Parameterform.
  

• Für diese zwei Spannvektoren berechnet ihr sogenanntes Kreuzprodukt ↗
  

• Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein möglicher Vektor für n.
  

• Das kleine n ist der Normalenvektor für die Normalenform.
  

• Man setzt das Kreuzprodukt für das n in die Gleichung ein.
  

Schritt 2: d bestimmen

• Das kleine d in der Normalenform ist immer eine Zahl.
  

• In ihr ist gedanklich der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung enthalten.
  

• Man nimmt von der Parameterform den Richtungsvektor p mit Zahlen.
  

• Man nimmt den vorher berechneten Normalenvektor n mit Zahlen.
  

• Für beide Vektoren berechnet man ihr gemeinsames Skalarprodukt ↗
  

• Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl.
  

• Diese Zahl ist der gesuchte Werte für d.
  

Schritt 3: Ergebnis aufschreiben

• Man schreibt am Ende die Ebenen in der allgemeinen Normalenform auf.
  

• Der Bauplan ist: x·n = d
  

• Das x und das n sind Vektoren.
  

• Das d ist eine reine Zahl.
  

• Das x lässt man als x stehen, mit einem Querpfeil darüber (für Vektor).
  

• Für n setzt man den oben berechneten Vektor mit Zahlen ein.
  

• Für d setzt man die oben berechnete Zahl ein.
  

• Siehe auch allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

Ein Rechenbeispiel =====

• Gegeben: (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) Parameterform der Ebene ↗
  

• (-1|1|0) x (-1|-1|1) = (1|1|2) für n über das Kreuzprodukt ↗
  

• n mal p: 8 für d über das Skalarprodukt ↗
  

• Ergebnis: X·^[1|1|2]=8 Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

Parameterform der Ebene Allgemeine Normalenform der Ebene Spannvektoren Kreuzprodukt Hessesche Normalenform der Ebene Punkt-Normalenform der Ebene Koordinatenform der Ebene Achsenabschnittsform der Ebene Achsenabschnittsform der Ebene Achsenabschnittsform in Allgemeine Normalenform Achsenabschnittsform in Hessesche Normalenform Achsenabschnittsform in Koordinatenform Achsenabschnittsform in Parameterform Achsenabschnittsform in Punkt-Normalenform Allgemeine Normalenform in Achsenabschnittsform Allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform Allgemeine Normalenform in Koordinatenform Allgemeine Normalenform in Punkt-Normalenform Allgemeine Normalenform in Parameterform Hessesche Normalenform in Allgemeine Normalenform Hessesche Normalenform in Achsenabschnittsform Hessesche Normalenform in Koordinatenform Hessesche Normalenform in Parameterform Hessesche Normalenform in Punkt-Normalenform Koordinatenform in Achsenabschnittsform Koordinatenform in Allgemeine Normalenform Koordinatenform in Hessesche Normalenform Koordinatenform in Parameterform Koordinatenform in Punkt-Normalenform Parameterform in Achsenabschnittsform Parameterform in Allgemeine Normalenform Parameterform in Hessesche Normalenform Parameterform in Koordinatenform Parameterform in Punkt-Normalenform Punkt-Normalenform in Achsenabschnittsform Punkt-Normalenform in Allgemeine Normalenform Punkt-Normalenform in Hessesche Normalenform Punkt-Normalenform in Koordinatenform Punkt-Normalenform in Parameterform Normale Normiert Ebene Gleichungen umwandeln [an sich] Geradengleichungen umwandeln [2D, 3D] Vektorrechnung [Hauptseite]