Achsenabschnittsform in Allgemeine Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
Achsenabschnittsform in Allgemeine Normalenform: hier wird kurz die Grundidee vorgestellt, wie man eine gegebene Form oder Darstellungsweise einer Ebene in eine gesuchte andere Form der Ebene umwandelt.
Eine Beispielebene
Die Gleichung x/8+y/8+z/4=1 in Achsenabschnittsform beschreibt dieselbe Ebene wie die Gleichung X·[1|1|2]=8 in der allgemeinen Normalenform der Ebene. Das große X wird dabei normalerweise als kleines x mit einem Vektorpfeil darüber geschrieben.
Normalenvektor n bestimmen
Man nimmt die Nennerzahlen aus der Achsenabschnittsform und bildet von diesen die Kehrbrüche. So wird aus 8 -> 1/8 (zwei mal) und aus 4 -> 1/4. Aus diesen Kehrbrüchen setzt man dann den gesuchten Normalenvektor der allgemeinen Normalenform zusammen, im Beispiel gibt das (1/8|1/8|1/4).
Normalenvektor eventuell erweitern
Man kann die Koordinaten des gerade gefundenen Normalenvektors immer mit eine beliebien Zahl (außer der Null) multiplizieren, ähnlich dem Erweitern von Brüchen. Damit kann man die Zahlen angenehmer machen. Hier kann zum Beispiel gut mit 8 multipliziert werden. Der neue Normalenvektor wird dann (1|1|2).
Punkt auf der Ebene bestimmen
Dann sucht man durch Probieren einen beliebigen Punkt auf der Ebene in der Achsenabschnittsform. Man muss dazu Zahlen für x, y und z finden, mit denen die Gleichung aufgeht, das sind hier zum Beispiel x=0, y=0 und z=4. Es gibt hier unendlich viele Lösungen. Es genügt, wenn man durch Probieren eine einzige gefunden hat.
Den Wert für der der allgemeinen Normalenform bestimmen
Diese gerade durch Probieren gefundenen Zahlen setzt man für den X-Vektor in der allgemeinen Normalenform ein und multipliziert das so entstandene Skalarprodukt aus: (0|0|4)·(1/8|1/8|1/4)=1. Diese Zahl ist der gesucht Wert für d aus der allgemeinen Normalenform. Damit erhält man für die allgemeine Normalenform: X·(1|1|2)=1.