Parameterform der Ebene


Vektorrechnung


Basiswissen


E: x = p + r mal v1 + s mal v2: p ist der Stützvektor und v1 und v2 sind die zwei Richtungsvektoren: wie diese Gleichung eine Ebene im Raum beschreibt, ist hier kurz erklärt.

Ebenenname


◦ Man gibt den Namen einer Ebene meist mit einem Großbuchstaben an.
◦ Üblich ist das große E, oder auch D, F oder G.
◦ Man schreibt den Namen ganz links.
◦ Dahinter folgt ein Doppelpunkt.

Was heißt hier Ebene?


Eine Ebene - oft abgekürzt als E - in der Vektorrechnung ist eine flache, gerade Fläche in einem 3D-Raum. Sie ist unendlich ausgedehnt, hat also keine Ränder. Um sie eindeutig zu definieren, kann man (irgend)einen Punkt auf der Ebene angeben. Das ist der Stützpunkt. Dann gibt man zwei (fast) beliebige Vektoren an, zu denen die Ebene parallel sein soll. Das sind die zwei Richtungsvektoren. Mit diesen Angaben ist die Ebene eindeutig definiert. Siehe auch => Ebene

Was besagt der Stützvektor?


Der Stützvektor ist ein spezieller Ortsvektor. Er beginnt im Koordinatenursprung und zeigt mit seiner Pfeilspitze - jeder Vektor ist ein Pfeil mit Spitze - auf den sogenannten Stützpunkt der Ebene. Der Stützpunkt ist ein Punkt, durch den die Ebene auf jeden Fall immer geht. Er stützt die Ebene sozusagen im unendlich ausgedehnten Raum irgendwo fest ab. Noch aber kann die Ebene um diesen Punkt gedreht werden. Also ist die Ebene noch nicht eindeutig festgelegt. Um der Ebene diese Freiheit zu nehmen, gibt man noch zwei Richtungsvektoren an. Siehe auch => Stützvektor

Was legt der Richtungsvektor v1 fest?


Man denkt sich den ersten Richtungsvektor, oft v1 genannt, mit seinem Anfang im Stützpunkt. Die Pfeilspitze zeigt dann vom Stützpunkt weg. Jetzt fordert man, dass die Ebene E sowohl den Stützpunkt als auch den Richtungsvektor v1 enthält. Damit hat man der Ebene einen Freiheitsgrad genommen: man kann sie jetzt nur noch in eine Richtung drehen. Siehe auch => Richtungsvektor

Was legt der Richtungsvektor v2 fest?


Wie bei v1 denkt man sich auch den Richtungsvektor v2 mit seinem Anfang - also dem Ende ohne Pfeil - im Stützpunkt. Die Pfeilspitze zeigt dann vom Stützpunkt weg. Jetzt fordert man, dass die Ebene E sowohl den Stützpunkt als auch den Richtungsvektor v1 und auch v2 enthält. Damit hat man der Ebene endgültig alle Freiheitsgrade der Bewegung genommen: sie ist jetzt eindeutig festgelegt.

Aus 3 Punkten aufstellen


◦ Gegben z. B.: P1, P2 und P3
◦ Einen beliebigen Punkt zum Stützvektor (Stützpunkt) machen.
◦ Dann aus P2-P1 den ersten Richtungsvektor v1 machen.
◦ Dann aus P3-P1 den zweiten Richtungsvektor v2 machen.
◦ Mehr dazu => Parameterform der Ebene aus drei Punkten