Parameterform in Punkt-Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
Parameterform in Punkt-Normalenform: hier wird kurz die Grundidee vorgestellt, wie man eine gegebene Form oder Darstellungsweise einer Ebene in eine gesuchte andere Form der Ebene umwandelt.
Gegegeben und gesucht
- Gegeben: x = p + r·v1 + s·v2 => Parameterform der Ebene
- Gesucht: (x-p)·n = 0 => Punkt-Normalenform der Ebene
Schritt 1: n bestimmen
- Man nimmt die beiden Spannvektoren v1 und v2 der Parameterform.
- Für diese zwei Spannvektoren berechnet ihr sogenanntes => Kreuzprodukt
- Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein möglicher Vektor für n.
- Das kleine n ist der Normalenvektor für die Normalenform.
- Man setzt das Kreuzprodukt für das n in die Gleichung ein.
Schritt 2: p bestimmen
- Das gesuchte kleine p der Normalenorm ist eine => Ortsvektor
- Das kleine muss von Koordinatenursprung irgendwo auf die Ebene führen.
- Wenn man einen Punkt auf der Ebene kennt, kann man diesen als p nehmen.
- Da der Stützvektor der Parameterform zu einem Punkt auf der Ebene führt ...
- kann man also den Stützvektor der Parameterfom für die Normalenform übernehmen.
- Man muss hier also nichts berechnen, sondern nur den Stützvektor p nehmen.
- Zum gedanklichen Hintergrund siehe auch => Stützvektor
Schritt 3: Ergebnis aufschreiben
- Man schreibt am Ende die Ebenen in der Punkt-Normalenform auf.
- Der Bauplan ist: (x-p)·n = 0
- Das x, p und das n sind Vektoren.
- Das x lässt man als x stehen, mit einem Querpfeil darüber (für Vektor).
- Für p setzt man den Stützvektor aus der Parameterform ein.
- Für n setzt man den oben berechneten Vektor mit Zahlen ein.
- Siehe auch => Punkt-Normalenform der Ebene