Basiswissen

Gegegeben und gesucht

• Gegeben: x = p + r·v1 + s·v2 Parameterform der Ebene ↗
  

• Gesucht: (x-p)·n = 0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Schritt 1: n bestimmen

• Man nimmt die beiden Spannvektoren v1 und v2 der Parameterform.
  

• Für diese zwei Spannvektoren berechnet ihr sogenanntes Kreuzprodukt ↗
  

• Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein möglicher Vektor für n.
  

• Das kleine n ist der Normalenvektor für die Normalenform.
  

• Man setzt das Kreuzprodukt für das n in die Gleichung ein.
  

Schritt 2: p bestimmen

• Das gesuchte kleine p der Normalenorm ist eine Ortsvektor ↗
  

• Das kleine muss von Koordinatenursprung irgendwo auf die Ebene führen.
  

• Wenn man einen Punkt auf der Ebene kennt, kann man diesen als p nehmen.
  

• Da der Stützvektor der Parameterform zu einem Punkt auf der Ebene führt ...
  

• kann man also den Stützvektor der Parameterfom für die Normalenform übernehmen.
  

• Man muss hier also nichts berechnen, sondern nur den Stützvektor p nehmen.
  

• Zum gedanklichen Hintergrund siehe auch Stützvektor ↗
  

Schritt 3: Ergebnis aufschreiben

• Man schreibt am Ende die Ebenen in der Punkt-Normalenform auf.
  

• Der Bauplan ist: (x-p)·n = 0
  

• Das x, p und das n sind Vektoren.
  

• Das x lässt man als x stehen, mit einem Querpfeil darüber (für Vektor).
  

• Für p setzt man den Stützvektor aus der Parameterform ein.
  

• Für n setzt man den oben berechneten Vektor mit Zahlen ein.
  

• Siehe auch Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Ein Rechenbeispiel =====

• Gegeben: (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) Parameterform der Ebene ↗
  

• (-1|1|0) x (-1|-1|1) = (1|1|2) für n über das Kreuzprodukt ↗
  

• p übernehmen aus der Parameterform: p = (4|4|0)
  

• Ergebnis: (x-(4|4|0))·n=0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Parameterform der Ebene Punkt-Normalenform der Ebene Spannvektoren Kreuzprodukt Stützvektor Hessesche Normalenform der Ebene Allgemeine Normalenform der Ebene Koordinatenform der Ebene Achsenabschnittsform der Ebene Achsenabschnittsform der Ebene Achsenabschnittsform in Allgemeine Normalenform Achsenabschnittsform in Hessesche Normalenform Achsenabschnittsform in Koordinatenform Achsenabschnittsform in Parameterform Achsenabschnittsform in Punkt-Normalenform Allgemeine Normalenform in Achsenabschnittsform Allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform Allgemeine Normalenform in Koordinatenform Allgemeine Normalenform in Punkt-Normalenform Allgemeine Normalenform in Parameterform Hessesche Normalenform in Allgemeine Normalenform Hessesche Normalenform in Achsenabschnittsform Hessesche Normalenform in Koordinatenform Hessesche Normalenform in Parameterform Hessesche Normalenform in Punkt-Normalenform Koordinatenform in Achsenabschnittsform Koordinatenform in Allgemeine Normalenform Koordinatenform in Hessesche Normalenform Koordinatenform in Parameterform Koordinatenform in Punkt-Normalenform Parameterform in Achsenabschnittsform Parameterform in Allgemeine Normalenform Parameterform in Hessesche Normalenform Parameterform in Koordinatenform Parameterform in Punkt-Normalenform Punkt-Normalenform in Achsenabschnittsform Punkt-Normalenform in Allgemeine Normalenform Punkt-Normalenform in Hessesche Normalenform Punkt-Normalenform in Koordinatenform Punkt-Normalenform in Parameterform Normale Normiert Ebene Gleichungen umwandeln [an sich] Geradengleichungen umwandeln [2D, 3D] Vektorrechnung [Hauptseite]