Basiswissen

(X-p)·n = 0 ist der Bauplan einer Ebenengleichung in Punkt-Normalenform. ax + by + cz = d ist der Bauplan derselben Ebene in Koordinatenform. Wie man die Punkt-Normalenform umwandeln in die Koordinatenform ist hier mit einem Zahlenbeispiel kurz erklärt.

Gegeben und gesucht

Gegeben: (X-p)·n = 0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗

Gesucht: ax + by + cz = d Koordinatenform der Ebene ↗

Legende

X = ein beliebiger variabler Ortsvektor auf einen Punkt auf der Ebene

p = ein beliebiger fixer Orstvektor auf einen Punkt der Ebene, also ein Stützvektor ↗

n = ein beliebiger Vektor senkrecht auf der Ebene, also ein Normalenvektor ↗

a, b, c = fixe Zahlen als Koeffiziente, entsprechen dem Normalenvektor ↗

x, y, z = variable Koordinaten eines Punktes der Ebene, entsprechen dem Vektor X

d = eine feste Zahl, ein sogenannter Skalar ↗

Grundidee

Die Vektorkoordinaten des gegebenen Normalenvektors n ergeben sofort die Koeffizienten a, b und c der gesuchten Koordinatenform. Man kann die Zahlenwerte ohne Rechnung übernehmen. Dann berechnet man das Skalarprodukt p·n. Das Ergebnis wird eine einzelne Zahl, ein sogenannter Skalar sein. Diese Zahl ist der gesucht Wert von d in der Koordinatenform.

Zahlenbeispiel

Gegeben: (X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗

(1|1|2) ist der Normalenvetor, das gibt über Ablesen: a=1, b=1 und c=2

Nun berechnet man für die Vektoren p und n das sogenannte Skalarprodukt ↗

Das Skalarprodukt (4|4|0)·(1|1|2) gibt 8. Das ist der gesuchte Wert für d.

Alles Zusammenschreiben mit x, y und z als variable Buchstaben:

1x + 1y + 2z = 8 ✔

Wie kann man eine Probe machen?

Ob das Ergebnis stimmt, kann man mit einer sogenannten Umkehrprobe überprüfen. Man nimmt die bestimmte Koordinatenform und wandelt sie wieder zurück um in die gegebene Punkt-Normalenform. Eine Anleitung dazu steht unter Koordinatenform in Punkt-Normalenform ↗