Hessesche Normalenform der Ebene
Anschaulich
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Was ist der Einheitsnormalenvektor? ·
n₀ anschaulich ·
d anschaulich ·
Abstand Punkt zu Ebene ·
Abstand Punkt zu Koordinatensprung ·
Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben ·
Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben ·
Fußnoten
Basiswissen
x·n₀ = d: in dieser Darstellung kann man sich eine Ebene recht leicht in einem xyz-Koordinatensystem vorstellen. Dabei gibt es zwei Darstellungsweisen, die aber beide dasselbe meinen. Das wird hier kurz erklärt.
Formeln
- Variante I: [ax+by+cz-d]/√(a²+b²+c²) = 0 [Koordinatenschreibweise]
- Variante II: x·n₀ = d [Vektorschreibweise]
Legende
- x = Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene
- n₀ = sprich "enn-null": Länge 1, senkrecht auf Ebene Einheitsnormalenvektor ↗
- d = Skalarprodukt von x und no
Was ist der Einheitsnormalenvektor?
- Normiert heißt hier: der Vektor hat genau die Länge 1.
- Wie man einen Vektor normiert steht unter Vektor normieren ↗
- Normalenvektor n₀ heißt: steht senkrecht auf der Ebene.
- Für n₀ hier muss noch gelten: Richtung zeigt von (0|0|0) zur Ebene.
- n₀ wird dabei interpretiert als ein sogenannter Ortsvektor ↗
- d darf dabei aber nicht negativ sein, d ist der Abstand der Ebene zu (0|0|0)
- Ist d negativ, zeigt der Vektor von der Ebene Richtung Ursprung (0|0|0).
n₀ anschaulich
Man geht gedanklich zunächst in den Koordinatenursprung (0|0|0). Von dort ausgehend stellt man sich den Normalenvektor n₀ mit seinem hinteren Ende vor. Die Ebene steht dann immer senkrecht auf diesem Normalenvektor. Ihre Lage ist aber durch den Normalenvektor nicht bestimmt. Anders gesagt; jeder Vektor der Länge der Länge 1, der senkrecht zur gedachten Ebene steht ist ein Normalenvektor dieser Ebene.
d anschaulich
Das kleine d steht für einen Zahlenwert. Der Betrag dieses Zahlenwertes gibt die kürzeste Entfernung der Ebene zum Koordinatenursprung (0|0|0) an. Das kleine d ergibt sich immer als Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und einem Ortsvektor x vom Koordinatenursprung auf die Ebene.
Abstand Punkt zu Ebene
Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts Q im Raum von einer Ebene E dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor q des Punktes in die Ebenengleichung eingesetzt wird:
- Abstand = q·n₀ - d
Dabei ist q der Orstvektor eines beliebigen Punktes, auch außerhalb der Ebene. n₀ ist der Normalenvektor der Ebene und d der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung. Mehr unter Abstand von Punkt zu Ebene über hessesche Normalenform ↗
Abstand Punkt zu Koordinatensprung
Die Zahl d der hesseschen Normalenform gibt direkt den Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung an. Siehe auch Abstand ↗
Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben
Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben
Fußnoten
- [1] Hessesche Normalenform als Koordinatengleichung. In: Finale Prüfungstraining. Nordrhein-Westfalen. Zentralabitur 2022. ISBN: 978-3-7426-2215-0. Seite 67.