Abstand von Punkt zu Ebene über hessesche Normalenform
Anleitung
Basiswissen
In einem xyz-Koordinatensystem sind ein Punkt (A|B|C) sowie eine Ebene in der hesseschen Normalenform x·n₀ = d gegeben. Eine einfache Formel berechnet den Abstand zwischen Punkt und Ebene.
Formel
- Abstand = x·n₀ - d
Legende
- x ist hier der Orstvektor eines beliebigen Punktes (A|B|C).
- (A|B|C) darf auf der Ebene als auch irgendwo außerhalb der Ebene liegen.
- n₀ ist der Normalenvektor der Ebene
- d ist der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung
Interpretation des Vorzeichens
Nach dieser Abstandsformel kann der Zahlenwert des Abstandes sowohl negativ, als auch positiv oder gleich 0 sein. Ist der Abstand positiv, liegt der Punkt vom Koordinatenursprung aus gesehen in derselben Richtung wie die Ebene. Ist der Abstand negativ, liegen Ebene und Punkt vom Koordinatenursprung aus gesehen in zwei entgegengesetzten Richtung. Ist der Abstand 0, liegt der Punkt in der Ebene.
Anschauliche Begründung
In der Hesseschen Normalform steht das kleine d für den Abstand desjenigen Punktes auf der Ebene, der dem Koordinatenursprung (0|0|0) am nächsten liegt. Das Skalarprodukt eines Ortsvektors auf einen beliebigen Punkt im Raum mit dem Normalenvektor gibt den Abstand dieses Punktes vom Koordinatenabstand projiziert auf den Normalenvektor der Ebene an. Die Differenz dieses Skalarproduktes und des Ebenenabstanden d zum Koordinatenursprung ist dann der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene.