Basiswissen

Achsenabschnittsform in Hessesche Normalenform: hier wird kurz die Grundidee vorgestellt, wie man eine gegebene Form oder Darstellungsweise einer Ebene in eine gesuchte andere Form der Ebene umwandelt.

Grundidee

Zuerst wandelt man die Achsenabschnittsform um in die Allgemeine Normalenform. Dann teilt man sowohl den Normalenvektor durch seine eigene Länge, das heißt durch seinen Betrag als auch das d auf der rechten Seite der allgemeinen Normalenform. Damit bringt man den Normalenvektor auf die Länge 1. Diesen Schritt nennt man auch normieren.

Einzelschritte

Achsenabschnittsform in allgemeine Normalenform [umwandeln] ↗

Vektor normieren [den Vektor n der Normalenform] ↗

d auf rechter Seite durch Länge von Vektor n der Normalenform teilen (externer Link)

Hessesche Normalenform [das Ergebnis aufschreiben] ↗

Rechenbeispiel

x/8+y/8+z/4=1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗

X·^{[1/√6|1/√6|2/√6]}=8√6 Hessesche Normalenform der Ebene ↗

Legende

[] stehen hier für einen Vektor ↗

X = ein Platzhalter für einen Vektor ↗

x = ein Platzhalter für eine x-Koordinate ↗

y = ein Platzhalter für eine y-Koordinate ↗

z = ein Platzhalter für eine z-Koordinate ↗

√ = ein übliches Wurzelzeichen ↗

/ = ein übliches Geteiltzeichen ↗

Probe

Der Punkt (4|4|0) liegt auf der beschriebenen Ebene. Er muss in beide Ebenengleichungen eingesetzt eine wahre Aussage ergeben, also eingesetzt machen, dass die Gleichungen beide aufgehen. Oben erhält man: 4/8+4/8+0/4=1, also ½+½+0=1, was aufgeht. Unten setzt man die drei Punktkoordinaten als Ortsvektor X ein und multiplziert das dann als Skalarprodukt mit den normierten Normalenvetor: das Skalarprodukt aus den Vektoren (4|4|0) und (1/√6|1/√6|2/√6) gibt: 4·1/√6+4·1/√6+2·0/√6 = 8/√6 ✔