Basiswissen

x/xo + y/yo + z/zo = 1 ist der Bauplan für die sogenannte Achsenabschnittsform und ax+by+cz=d ist der Bauplan für die sogenannte Koordinatenform. Beide Formen sind gedanklich eng miteinander verbunden. Hier stehen zwei Möglicheiten, wie man die Achsenabschnittsform in die Koordinatenform umwandeln kann.

Gegeben, gesucht

Gegeben: x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗

Gesucht: ax+by+cz=d Koordinatenform der Ebene ↗

Legende

a, b und c sind sogenannte Koeffizienten ↗

xo, yo und zo die die Spurpunkte von Ebenen [Achsenabschnitt] ↗

d steht immer für eine Zahl, ein sogenanntes Skalar ↗

Zahlenbeispiel

x/8+y/8+z/4 = 1 ist die gegebene Achsenabschnittsform der Ebene ↗

1x+1y+2z = 8 ist die gesuchte Koordinatenform der Ebene ↗

Grundidee der Umwandlung

Zahl durch Bruch ist wie Umkehrbruch mal Zahl. Als Beispiel: x durch 8 ist rechnerisch dasselbe wie ⅛ mal x. Damit kann man alle Nenner (unten) der gegebenen Brüche in der Achsenabschnittsform umformen in die Vorfaktoren a, b und c aus der gesuchten Koordinatenform.

Die Umwandlung als Rechenschema

Gegeben: x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗

Mit Zahlen: x/8+y/8+z/4 = 1

Man nimmt die nacheinander einzeln die Zahlenwerte der Nenner (unten) und bildet von ihnen den Kehrwert.

Wie das geht ist erklärt im Artiel Kehrwert bilden ↗

Diese Kehrwerte sind die gesuchten Wert für a, b und c:

xo = 8 -> Kehrwert -> a = ⅛

yo = 8 -> Kehrwert -> b = ⅛

zo = 4 -> Kehrwert -> c = ¼

Der Wert 1 für d bleibt erhalten.

Einsetzen in die gesuchte Form: ax+by+cz=d gibt:

⅛x + ⅛y + ¼z = 1

Das ist die gesuchte Koordinatenform der Ebene ↗

Eventuell noch Brüche beseitigen

Man kann noch die Brüche als Vorfaktoren beseitigen.

Dazu multipliziert man die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche durch.

Im Beispiel wäre die Zahl 8 der geeignete Hauptnenner ↗

⅛x + ⅛y + ¼z = 1 | ·8

1x + 1y + 2z = 8 ✔