Achsenabschnittsform in Koordinatenform
Vektorrechnung
Basiswissen
x/xo + y/yo + z/zo = 1 ist der Bauplan für die sogenannte Achsenabschnittsform und ax+by+cz=d ist der Bauplan für die sogenannte Koordiantenform. Beide Formen sind gedanklich eng miteinander verbunden. Hier stehen zwei Möglicheiten, wie man die Achsenabschnittsform in die Koordinatenform umwandeln kann.
Gegeben, gesucht
- Gegeben: x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
- Gesucht: ax+by+cz=d Koordinatenform der Ebene ↗
Legende
- a, b und c sind sogenannte Koeffizienten ↗
- xo, yo und zo die die Spurpunkte von Ebenen [Achsenabschnitt] ↗
- d steht immer für eine Zahl, ein sogenanntes Skalar ↗
Zahlenbeispiel
- x/8+y/8+z/4 = 1 ist die gegebene Achsenabschnittsform der Ebene ↗
- 1x+1y+2z = 8 ist die gesuchte Koordinatenform der Ebene ↗
Grundidee der Umwandlung
Zahl durch Bruch ist wie Umkehrbruch mal Zahl. Als Beispiel: x durch 8 ist rechnerisch dasselbe wie ⅛ mal x. Damit kann man alle Nenner (unten) der gegebenen Brüche in der Achsenabschnittsform umformen in die Vorfaktoren a, b und c aus der gesuchten Koordinatenform.
Die Umwandlung als Rechenschema
- Gegeben: x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
- Mit Zahlen: x/8+y/8+z/4 = 1
- Man nimmt die nacheinander einzeln die Zahlenwerte der Nenner (unten) und bildet von ihnen den Kehrwert.
- Wie das geht ist erklärt im Artiel Kehrwert bilden ↗
- Diese Kehrwerte sind die gesuchten Wert für a, b und c:
- xo = 8 -> Kehrwert -> a = ⅛
- yo = 8 -> Kehrwert -> b = ⅛
- zo = 4 -> Kehrwert -> c = ¼
- Der Wert 1 für d bleibt erhalten.
- Einsetzen in die gesuchte Form: ax+by+cz=d gibt:
- ⅛x + ⅛y + ¼z = 1
- Das ist die gesuchte Koordinatenform der Ebene ↗
Eventuell noch Brüche beseitigen
- Man kann noch die Brüche als Vorfaktoren beseitigen.
- Dazu multipliziert man die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche durch.
- Im Beispiel wäre die Zahl 8 der geeignete Hauptnenner ↗
- ⅛x + ⅛y + ¼z = 1 | ·8
- 1x + 1y + 2z = 8 ✔