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Koordinatenform in Allgemeine Normalenform


Vektorrechnung


Basiswissen


1x+1y+2z=8 ist ein Beispiel für eine Ebene in Koordinatenform. Dieselbe Ebene kann auch in der allgemeinen Normalenform x·n=p dargstellt werden. Im Beipsiel gäbe das x·(1|1|2)=8. Die Umwandlung ist sehr einfach und erfordert keine Rechenschritte. Das ist hier kurz vorgestellt.

Grundidee


Die Vorfaktoren, auch Koeffizienten, der Unbekannten x, y und z bilden zu dritt den gesuchten Normalenvektor n der Normalenform. Die gesuchte Zahl p ist in beiden Formen dieselbe und kann sofort abgelesen werden.

Zahlenbeispiel



Rückwärtsprobe über das Skalarprodukt


Eine enge logische Verbindung zwischen beiden Darstellungsformen von Ebenen bildet das Skalarprodukt. Das Malzeichen in der Normalenform steht für dieses Skalarprodukt. Multipliziert man die Vektoren auf der linken Seite der Normalenform aus, erhält man wieder die linke Seite der Koordinatenform: Dazu schreibt man den variablen Vektor x mit seinen drei Vektorkoordinaten (x|y|z) auf und rechnet: (x|y|z)·(1|1|2) = 1x+1y+2z. Siehe auch Skalarprodukt ↗