Allgemeine Normalenform der Ebene
Vektorrechnung
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Basiswissen ·
Wofür steht n? ·
Wofür steht x? ·
Wofür steht der Malpunkt · ? ·
Wofür steht d? ·
Der Abstand zum Koordinatenursprung ·
Umwandlungen, allgemeine Normalenform gegeben ·
Umwandlungen, allgemeine Normalenform gesucht
Basiswissen
n·x = d ist die allgemeine Normalenform der Ebene. Ausgesprochen heißt das: n skalar multipliziert mit x ergibt für eine gegebene Ebene immer denselben Zahlenwert d. Das ist hier kurz vorgestellt.
Wofür steht n?
- Das n steht hier für einen Normalenvektor ↗
- Normal ist hier in der Bedeutung "senkrecht auf" verwendet.
- Der Normalenvektor ist ein Vektor senkrecht auf der Ebene.
- Wie lang der Normalenvektor ist, das ist egal.
Wofür steht x?
- Das x steht für Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene.
- Man kann für x beliebige Punkte - auch außerhalb der Ebene einsetzen.
- Immer dann, wenn der Punkt auf der Ebene liegt, geht die Gleichung auf.
- Die Gleichung geht auch nur auf, wenn der Punkt auf der Ebene liegt.
Wofür steht der Malpunkt · ?
- Das ist das sogenannte Skalarprodukt von zwei Vektoren.
- Beim Skalarprodukt gibt das Ergebnis immer eine Zahl.
- Angenommen man hat die zwei Vektoren (1|1|2) und (4|4|0).
- Ihr Skalarprodukt gibt: 1·4+1·4+2·0 = 8
- Mehr unter Skalarprodukt ↗
Wofür steht d?
- d ist eine Zahl (ein Skalar).
- In der Zahl d steckt der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung.
- Bei gleichem Normalenvektor gilt: Je größer der Betrag von d, desto weiter weg vom Ursprung.
- Macht man den Betrag des Normalenvektors kleiner, wird auch d kleiner.
Der Abstand zum Koordinatenursprung
- Wie weit ist die Ebene entfernt vom Ursprung (0|0|0)?
- Wenn n ein beliebiger Normalenvektor der Ebene ist, dann gilt:
- Man berechnet das Skalarprodukt von n mit irgendeinem Punkt auf der Ebene.
- Dieses Skalarpdodukt teilt man durch die Länge (Betrag) des Normalenvektors.
- Das Ergebnis ist der kürzeste Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.
- Siehe auch Abstand von Ebene zu Koordinatenursprung ↗