Vektor
↗ Definition
Basiswissen
Als Vektor bezeichnet man in der Mathematik oft einen Pfeil in einem 2D- oder 3D-Koordinatensystem. Er wird oft mit zwei, drei oder auch mehr Zahlen - den Vektorkoordinaten - geschrieben. Diese Zahlen sagten nichts darüber aus, wo ein Vektor in einem Koordinatensystem liegt. Die Zahlen sagen nur, wie lang der Vektor ist und in welche Richtung er zeigt. Das ist hier näher erklärt.
Ein Beispiel für einen Vektor
- Man hat ein => xyz-Koordinatensystem
- In diesem Koordinatensystem befinde sich der Vektor (4|3|5).
- Die drei Zahlen nennt man die Komponenten des Vektors.
- Der Vektor hat einen Anfang (ohne Pfeilspitze) und ein Ende (mit Pfeilspitze).
- Die drei Komponenten sagen, wie man vom hinteren Ende zur Spitze kommt.
- Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur x-Achse gehen muss.
- Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur y-Achse gehen muss.
- Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur z-Achse gehen muss.
Definition eines Vektors
- Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil, den man sich in einem Koordinatensystem denkt.
- Ein Vektor hat gedacht einen Anfangspunkt und ein Ende mit einer Spitze: ↗
- Der Vektor zeigt also vom Anfangspunkt in Richtung seiner Spitze.
- Ein Vektor hat eine Länge, man nennt sie den Betrag.
- Der Vektor (4|3|5) zum Beispiel hat etwa die Länge 7.
- Man kann den Vektor frei im Koordinatensystem verschieben.
- Er bleibt dadurch immer derselbe Vektor.
- Die Komponenten ändern sich dadurch nicht.
- (Das wäre bei einem Punkt anders.)
Schreibweisen für Vektoren mit Zahlen
- Man kann einen Vektor wahlweise senkrecht oder waagrecht [4] schreiben.
- Einen senkrecht geschriebenen Vektor nennt man auch => Spaltenvektor
- Ein waagrecht geschriebenen Vektor nennt man auch => Zeilenvektor
- In der Schulmathematik werden Vektoren meist stenkrecht geschrieben.
Schreibweisen für Vektoren mit Platzhaltern
Als Platzhalter für Vektoren werden normalerweise lateinische Kleinbuchstaben verwendet. Dass sie für Vektoren stehen sollen, kann man auf zwei Arten deutlich machen: man setzt einen kleinen Rechtspfeil über den Buchstaben. Oder aber man schreibt den Buchstaben kursiv (englisch: italic) oder fett. Siehe auch => Vektorschreibweisen
Bestandteile des Vektors als Pfeil
- Ein Vektor wird oft als Pfeil veranschaulicht.
- Das Ende des Vektors ohne Pfeil ist sozusagen der Anfang und heißt dann => Vektorfuß
- Das Ende des Vektors mit Pfeil ist sozusagen das Ende und heißt dann => Vektorkopf
- Das gerade Stück zwischen Fuß und Kopf ist die => Vektorachse
- Die einzelnen Zahlen eines Vektors heißen => Vektorkoordinaten
Deutung der Vektorkoordinaten
- In der Schulmathematik ist der Kontext meistens ein => 3D-Koordinatensystem
- Um den Vektor zu definieren fängt man gedanklich am hinteren Ende des Vektors an.
- Man geht dann in drei Schritten bis zur Spitze: in x-, in y- und in z-Richtung.
- Man gibt die drei Wegstrecken in x-, y- und z-Richtung als Zahlen an.
- Man nennt diese Zahlen die => Vektorkoordinaten [1]
Vektoren tragen keine Lage-Information
Eine häufige Quelle von Verwirrung für Anfänger in der Vektorrechnung ist, dass die Zahlen eines Vektors nichts darüber aussagen, wo der Vektor im Koordinatensystem liegt. Der Vektor (2 1 0) kann irgendwo im Koordinatensystem liegen oder auch in seiner Lage unbestimmt sein. Die drei Zahlen, die Vektorkoordinaten sagen nur: wie kommt man vom Vektorfuß (dem Anfang) zur Vektorspitze, wenn man sich dabei nur parallel zu den drei Koordinatenachsen bewegen kann. Lies mehr unter => Vektorkoordinaten
Was ist ein Skalar?
- Das Wort Skalar taucht in der Vektorrechnung an verschiedenen Stellen auf.
- Ein Skalar in der Vektorrechnung ist eine reine (reelle) Zahl, im Gegensat zu zu einem Vektor.
- In der Physik ist ein Skalar eine Größe nur mit Zahl und Einheit gedacht.
- Bei der skalaren Multiplikation zum Beispiel rechnet man => Zahl mal Vektor
- Wenn zwei Vektoren malgerechnet eine Zahl ergeben, spricht man vom => Skalarprodukt
Tipps zu Vektoren
- Wenn man einen Vektor parallel verschiebt bleibt er derselbe Vektor
- Diese drei Pfeile sind derselbe Vektor: ↗↗↗
- Wenn man die Länge eines Vektors ändert ist er danach ein anderer Vektor.
- Wenn man einen Vektor irgendwie dreht ist er danach ein anderer Vektor.
- Das sind zwei verschiedene Vektoren: ↗ und ←
Anwendungen von Vektoren
Vektoren spielen oft dann eine Rolle, wo Richtung und Stärke eine Rolle spielen. Bei der Berechnung von Luftströmungen kann es wichtig sein zu wissen, in welche Richtung und wie schnell ein Luftteilchen sich bewegt. Das kann man mit Hilfe eines Vektors ausdrücken: Der Vektorpfeil zeigt in die Richtung der Bewegung und die Vektorlänge steht für die Stärke der Bewegung, hier also die Geschwindigkeit. Eigenschaften, die man oft als Vektoren modelliert sind etwa die Gravitationskraft, Wasserströmungen, magnetischer Fluss, Sternen- und Flugzeugbewegungen. Siehe auch => Vektorrechnung
Vektoren in der höheren Mathematik
In der höheren Mathematik wird der hier erklärte anschauliche Vektorbegriff (Pfeil) erweitert: jede Liste von Zahlen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt kann als Vektor aufgefasst werden. Mehr dazu unter => Vektorraum
Mehr dazu?
- Das Rechnen mit Vektoren heißt in der Schulmathematik oft => lineare Algebra
- Oft heißt das Thema auch => analytische Geometrie
- Hier nennen wir es => Vektorrechnung
Fußnoten
- [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 188. Siehe auch => Der Bronstein
- [2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Seite 55. Verlag Springer Vieweg. Seite 1. Siehe auch => Der Papula
- [3] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-7426-2215-0. Seite 53 ff.
- [4] Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Analytische Geometrie, Vektorrechnung und Infinitesimalrechnung. 18. Auflage. Verlag Harri Deutsch · Thun und Frankfurt/Main. 1984. ISBN: 3 87144 403 0. Seite 163.
- [5] Noch im Jahr 1910 verweist ein Lexikon von Vektor aus lediglich weiter: "Vektor (Radiusvektor), s. Fahrstrahl, Koordinaten, Bd. 5, S. 618." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 745. Online: http://www.zeno.org/nid/20006144845
