Basiswissen

Ein Beispiel für einen Vektor

• Man hat ein xyz-Koordinatensystem ↗
  

• In diesem Koordinatensystem befinde sich der Vektor (4|3|5).
  

• Die drei Zahlen nennt man die Koordinaten des Vektors.
  

• Der Vektor hat einen Anfang (ohne Pfeilspitze) und ein Ende (mit Pfeilspitze).
  

• Die drei Koordinaten sagen, wie man vom hinteren Ende zur Spitze kommt.
  

• Die oberste Koordinate sagt, wie weit man parallel zur x-Achse gehen muss.
  

• Die mittlere Koordinate sagt, wie weit man parallel zur y-Achse gehen muss.
  

• Die untere Koordinate sagt, wie weit man parallel zur z-Achse gehen muss.
  

Definition eines Vektors

• Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil, den man sich in einem Koordinatensystem denkt.
  

• Ein Vektor hat gedacht einen Anfangspunkt und ein Ende mit einer Spitze: ↗
  

• Der Vektor zeigt also vom Anfangspunkt in Richtung seiner Spitze.
  

• Ein Vektor hat eine Länge, man nennt sie den Betrag.
  

• Der Vektor (4|3|5) zum Beispiel hat etwa die Länge 7.
  

• Man kann den Vektor frei im Koordinatensystem verschieben.
  

• Er bleibt dadurch immer derselbe Vektor.
  

• Die Koordinaten ändern sich dadurch nicht.
  

• (Das wäre bei einem Punkt anders.)
  

Schreibweisen für Vektoren mit Zahlen

• Man kann einen Vektor wahlweise senkrecht oder waagrecht^[4] schreiben.
  

• Einen senkrecht geschriebenen Vektor nennt man auch Spaltenvektor ↗
  

• Ein waagrecht geschriebenen Vektor nennt man auch Zeilenvektor ↗
  

• In der Schulmathematik werden Vektoren meist stenkrecht geschrieben.
  

Schreibweisen für Vektoren mit Platzhaltern

Bestandteile des Vektors als Pfeil

• Ein Vektor wird oft als Pfeil veranschaulicht.
  

• Das Ende des Vektors ohne Pfeil ist sozusagen der Anfang und heißt dann Vektorfuß ↗
  

• Das Ende des Vektors mit Pfeil ist sozusagen das Ende und heißt dann Vektorkopf ↗
  

• Das gerade Stück zwischen Fuß und Kopf ist die Vektorachse ↗
  

• Die einzelnen Zahlen eines Vektors heißen Vektorkoordinaten ↗
  

Deutung der Vektorkoordinaten

• In der Schulmathematik ist der Kontext meistens ein 3D-Koordinatensystem ↗
  

• Um den Vektor zu definieren fängt man gedanklich am hinteren Ende des Vektors an.
  

• Man geht dann in drei Schritten bis zur Spitze: in x-, in y- und in z-Richtung.
  

• Man gibt die drei Wegstrecken in x-, y- und z-Richtung als Zahlen an.
  

• Man nennt diese Zahlen die Vektorkoordinaten^{[1] ↗}
  

Vektoren tragen keine Lage-Information

Was ist ein Skalar?

• Das Wort Skalar taucht in der Vektorrechnung an verschiedenen Stellen auf.
  

• Ein Skalar in der Vektorrechnung ist eine reine (reelle) Zahl, im Gegensat zu zu einem Vektor.
  

• In der Physik ist ein Skalar eine Größe nur mit Zahl und Einheit gedacht.
  

• Bei der skalaren Multiplikation zum Beispiel rechnet man Zahl mal Vektor ↗
  

• Wenn zwei Vektoren malgerechnet eine Zahl ergeben, spricht man vom Skalarprodukt ↗
  

Tipps zu Vektoren

• Wenn man einen Vektor parallel verschiebt bleibt er derselbe Vektor
  

• Diese drei Pfeile sind derselbe Vektor: ↗↗↗
  

• Wenn man die Länge eines Vektors ändert ist er danach ein anderer Vektor.
  

• Wenn man einen Vektor irgendwie dreht ist er danach ein anderer Vektor.
  

• Das sind zwei verschiedene Vektoren: ↗ und ←
  

Anwendungen von Vektoren

Vektoren in der höheren Mathematik

Mehr dazu?

• Das Rechnen mit Vektoren heißt in der Schulmathematik oft lineare Algebra ↗
  

• Oft heißt das Thema auch analytische Geometrie ↗
  

• Hier nennen wir es Vektorrechnung ↗
  

Fußnoten

• [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 188. Siehe auch Der Bronstein ↗
  

• [2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Seite 55. Verlag Springer Vieweg. Seite 1. Siehe auch Der Papula ↗
  

• [3] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-7426-2215-0. Seite 53 ff.
  

• [4] Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Analytische Geometrie, Vektorrechnung und Infinitesimalrechnung. 18. Auflage. Verlag Harri Deutsch · Thun und Frankfurt/Main. 1984. ISBN: 3 87144 403 0. Seite 163.
  

• [5] Noch im Jahr 1910 verweist ein Lexikon von Vektor aus lediglich weiter: "Vektor (Radiusvektor), s. Fahrstrahl, Koordinaten, Bd. 5, S. 618." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 745. Online: http://www.zeno.org/nid/20006144845