Spannvektoren
Vektorrechnung
Basiswissen
Das Wort Spannvektoren wird in Verbindung mit Ebenen im Raum gebraucht. Die zwei Spannvektoren spannen die Ebene ähnlich auf, wie man mit zwei ausgestreckten Armen ein Bettlaken glatt auseinanderziehen und hochhalten kann. Das wird hier für die Mathematik erklärt.
Schreibweisen
Die Spannvektoren nennt man oft v1 und v2. Einen Spannvetor schreibt man meist mit den drei sogenannten Vektorkoordinaten (Zahlen) senkrecht übereinander in runden Klammern. Nimmt man Buchstaben als Platzhalter setzt man oft einen kleinen querliegenden und nach rechts zeigenden Pfeil darüber. Damit macht man deutlich: das ist ein Vektor ↗
Anschauuliche Bedeutung der Spannvektoren
Um anschaulich zu verstehen, was die Spannvektoren bedeuten, beginnt man gedanklich im Stützpunkt der Ebene. Der Stützpunkt ist irgendein beliebiger Punkt, von dem man aber sicher weiß, dass er auf der Ebene liegt, die Ebene als durch diesen Punkt geht. Von diesem Punkt aus ausgehend stellt man sich jetzt Vektoren vor, die in verschiedene Richtungen zeigen. Dann versucht man sich eine Ebene vorzustellen, die sowohl den Stützpunkt wie auch diese zwei Spannvektoren enthält. Es gibt nur eine einzige Möglichkeit für eine Ebene, wie sie dann liegen kann. Der Stützpunkt und die Spannvektoren definieren damit eindeutig eine Ebene. Wichtig ist: die Spannvektoren dürfen dabei nicht auf derselben Geraden liegen (siehe unten unter Kollinearität).
Berechnung der Spannvektoren aus drei Punkten
- Man muss drei verschiedene Punkte auf der Ebene kennen
- Diese drei Punkte dürfen nicht auf ein und derselben Geraden liegen.
- Mit drei solchen Punkten kann man dann immer die zwei Spannvektoren berechnen.
- Man bildet dazu einfach einen Vektor vom ersten zum zweiten Punkt.
- Das gibt den ersten der zwei nötigen Spannvektoren.
- Man bildet dann einen Vektor vom ersten zum dritten Punkt.
- Das gibt den zweiten der zwei nötigen Spannvektoren.
- Siehe auch Vektor aus zwei Punkten ↗
Beispiel zur Berechnung von Spannvektoren
- Man hat zwei Punkte auf einer Geraden: (4|0|10) und (4|20|10).
- Dann ist ein möglicher Spannvektor (0|20|0).
- Ein anderer wäre z. B. (0|3|0).
Spannvektoren und Kollinearität
Die zwei Spannvektoren verlaufen immer parallel zur Ebene. Dabei dürfen die Spannvektoren aber nicht kollinear sein, das heißt, es muss unmöglich sein, dass man sie auf dieselbe Gerade verschieben kann. Wäre das möglich, würden die zwei Vetoren nicht eine Ebene eindeutig definierten sondern ein sogenanntes Ebenenbüschel ↗
Wo steht mehr zu dem Thema?
Spannvektoren bilden einen wichtigen Aspekt von Ebenengleichungen für 3D-Ebenen. Vor diesem Zusammenhang erklärt sind sie auf der Seite Parameterform der Ebene ↗