Nullstellen bestimmen
Übersicht
Basiswissen
ABC-Formel, pq-Formel, faktorisieren, graphisch oder über Substitution: du hast vielleicht schon einige Verfahren kennen gelernt und gemerkt, dass man hier leicht den Überblick verliert. Hier stehen die wichtigsten Methoden mit einigen Tipps als Übersicht.
Kurzübersicht, häufig vorkommende Typen
- y = 4·x Nullstellen über umformen ↗
- y = 4x-10 Nullstellen über umformen ↗
- y = 4x²-16 Nullstellen über umformen ↗
- y = 4x² - 32x + 60 Nullstellen über ABC-Formel ↗
- y = x² - 8x +15 Nullstellen über pq-Formel ↗
- y = x² - 8x +15 Nullstellen über Satz des Vieta ↗
- y = 4(x-2)(x+1) Nullstellen aus faktorisierter Form ↗
- y = 2x⁴-16x²+ 30 ⭢ f(z) Nullstellen über Substitution ↗
- y = x³ - 5x² + 2x + 8 Nullstellen über probieren ↗
- y = x³ + 3x² - 6x - 8 Nullstellen über Polynomdivision ↗
- y = 4e^(2x-4)-10 Nullstellen von e-Funktionen bestimmen ↗
- y = cos(4x)-x Nullstelle aus Graph ↗
Immer zuerst: nullsetzen
Man hat am Anfang immer eine Funktionsgleichung gegeben. Auf der linken Seite steht dann entweder ein y oder ein f(x). Dieses y oder das f(x) durch die Zahl 0 zu ersetzen nennt man "null setzen". Aus f(x) = 10x-80 wird durch das null-Setzen dann: 0 = 10x-80. Lies mehr unter null setzen ↗
Verfahren für viele Funktionstypen
Es gibt einige Verfahren, die für viele - aber nicht alle - Funktionstypen oft gut und schnell funktionieren. Die wichtigsten dieser Verfahren erklären wir zuerst.
a) Umformen
f(x) = 4x-8 ⭢ erste Nullsetzen ⭢ 0 = 4x-8 ⭢ dann umformen ⭢ 8 = 4x ⭢ x=2. Lies mehr dazu unter Nullstellen über Umformen
b) aus faktorisierter Form ablesen
f(x) = (x+4)·(x-8) ⭢ x=-4 und x=8: besteht der Funktionsterm aus einer Malkette, kann man die Nullstellen oft direkt ablesen. Mehr unter Nullstellen aus faktorisierter Form ↗
c) erst faktorisieren
f(x) = 4x³-8x² ⭢ 4x²·(x-2) ⭢ x= 0 oder x=2: viele Terme kann man durch Umformungen zu einer Malkette machen, man bringt sie also in die sogenannte faktorisierte Form. Aus dieser lassen sich die Nullstellen dann leicht ablesen. Nullstellen über Faktorisieren ↗
d) Substitution
f(x) = 2x⁴-16x²+ 30 ⭢ f(z) = 2z²-16z+30 ⭢ pq-Formel etc.: dieses Verfahren funktioniert zum Beispiel gut für biquadratische Funktionen, aber auch andere. Lies mehr unter Nullstellen über Substitution ↗
e) (Intelligentes) Probieren
f(x) = x³ - 5x² + 2x + 8 ⭢ x=2 probieren ⭢ gehlt auf: intelligentes Probieren heißt, man setzt einfach rechenbare Zahlen ein. Die Zahl 2 zum Beispiel ist eine Nullstelle. Es gibt eine einfache Regel, wie man Zahlen findet, die gut passen können. Mehr unter Nullstellen über Probieren ↗
f) Graphisch
Hat man den Graphen einer Funktion, etwa im Taschenrechner, kann man die Nullstellen oft direkt ablesen. Die Nullstellen sind die x-Werte, bei denen der Graph durch die x-Achse geht. Mehr unter Nullstellen aus Graph ↗
Verfahren für spezielle Funktionstypen
Die Nullstellen einer linearen Funktion kann man immer durch Umformen finden. Das geht aber schon bei quadratischen Funktionen nicht mehr immer. Umgekehrt kann man mit der pq-Formel jede quadratische Funktion lösen, aber auch nur quadratische Funktionen. Hier folgt eine Übersicht zu den Methoden für einige häufige Funktionsarten.
